Определить напряженность электрического поля в произвольной точке на оси X, соединяющей заряды, и построить график

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (Электрическое поле точечных зарядов)

Условие задачи

Два точечных заряда ( Q_1 ) и ( Q_2 ) находятся на расстоянии ( \ell ) друг от друга. Причем ( Q_1 = -Q_2 ), то есть заряды равны по модулю и противоположны по знаку — это диполь.
Нужно:

1. Определить напряженность электрического поля в произвольной точке на оси X, соединяющей заряды, и построить график ( E_x(x) ).
2. Найти напряженность поля в произвольной точке, лежащей на оси Y (перпендикулярной оси диполя и проходящей через его центр).

Решение

Обозначим:

• ( Q_1 = +Q ), ( Q_2 = -Q )
• Расстояние между зарядами: ( \ell )
• Центр между зарядами — начало координат.
• Заряды расположены на оси X:
  • ( Q_1 ) в точке ( x = -\ell/2 )
  • ( Q_2 ) в точке ( x = +\ell/2 )

1. Напряженность на оси X

Рассмотрим произвольную точку ( x ) на оси X. Напряженность от точечного заряда:

 \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \hat{r} 

Где:

• ( q ) — заряд
• ( r ) — расстояние от заряда до точки
• ( \hat{r} ) — единичный вектор от заряда к точке

Пусть точка ( P ) имеет координату ( x ). Тогда расстояния до зарядов:

• До ( Q_1 ): ( r_1 = x + \ell/2 )
• До ( Q_2 ): ( r_2 = x - \ell/2 )

Напряженности от каждого заряда на оси X:

 E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{(x + \ell/2)^2} 

 E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-Q}{(x - \ell/2)^2} 

Общая напряженность:

 E_x(x) = E_1 + E_2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(x + \ell/2)^2} - \frac{1}{(x - \ell/2)^2} \right] 

Приведем к общему знаменателю:

 E_x(x) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(x - \ell/2)^2 - (x + \ell/2)^2}{(x^2 - \ell^2/4)^2} 

В числителе:

 (x - \ell/2)^2 - (x + \ell/2)^2 = x^2 - x\ell + \ell^2/4 - (x^2 + x\ell + \ell^2/4) = -2x\ell 

Итак:

 E_x(x) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-2x\ell}{(x^2 - \ell^2/4)^2} 

Или окончательно:

 E_x(x) = -\frac{Q\ell}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{x}{(x^2 - \ell^2/4)^2} 

График ( E_x(x) )

График функции:

 E_x(x) = -C \cdot \frac{x}{(x^2 - a^2)^2}, \quad \text{где } C = \frac{Q\ell}{2\pi\varepsilon_0}, \quad a = \ell/2 

Особенности графика:

• Разрывы в точках ( x = \pm \ell/2 ) — там находятся заряды.
• При ( x = 0 ): ( E_x(0) = 0 )
• При ( x \to \infty ): ( E_x(x) \sim -\frac{1}{x^3} )
• Знак поля: слева от 0 — положительный, справа — отрицательный.

2. Напряженность на оси Y

Теперь рассмотрим произвольную точку на оси Y, т.е. точку ( (0, y) ). Расстояние до каждого заряда:

• До ( Q_1 ): ( r_1 = \sqrt{(\ell/2)^2 + y^2} )
• До ( Q_2 ): ( r_2 = \sqrt{(\ell/2)^2 + y^2} )

Модули равны, но направления разные.

Обозначим ( r = \sqrt{(\ell/2)^2 + y^2} )

Напряженность от каждого заряда:

 \vec{E}_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot \frac{\vec{r}_1}{r} 

 \vec{E}_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-Q}{r^2} \cdot \frac{\vec{r}_2}{r} 

Векторы ( \vec{r}_1 ) и ( \vec{r}_2 ) от зарядов к точке ( (0, y) ):

• ( \vec{r}_1 = (\ell/2, y) )
• ( \vec{r}_2 = (-\ell/2, y) )

Итак:

 \vec{E}_1 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (\ell/2, y), \quad \vec{E}_2 = \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (-\ell/2, y) 

Сумма:

 \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \left[ (\ell/2 + \ell/2, y + y) \right] = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (\ell, 0) 

Ой! Это ошибка — давайте пересчитаем правильно:
На самом деле:

• ( \vec{E}_1 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (-\ell/2, y) )
• ( \vec{E}_2 = \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (\ell/2, y) )

Тогда:

 \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \left[ (-\ell/2, y) - (\ell/2, y) \right] = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \cdot (-\ell, 0) 

Таким образом, на оси Y поле направлено вдоль оси X (влево), и его модуль:

 E = \frac{Q\ell}{4\pi\varepsilon_0 \left[ (\ell/2)^2 + y^2 \right]^{3/2}} 

Ответ:

1. Напряженность на оси X:

 E_x(x) = -\frac{Q\ell}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{x}{(x^2 - \ell^2/4)^2} 

2. Напряженность на оси Y:

 \vec{E} = -\frac{Q\ell}{4\pi\varepsilon_0 \left[ (\ell/2)^2 + y^2 \right]^{3/2}} \cdot \hat{i} 

Где ( \hat{i} ) — единичный вектор вдоль оси X.