Определить энергию системы зарядов

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к физике, а конкретно к разделу электростатике. Здесь рассматривается взаимодействие электрических зарядов и энергия их системы.

Теория:

Энергия системы точечных зарядов \( W \) определяется суммой потенциальных энергий взаимодействия всех пар зарядов. Для двух зарядов \( q_1 \) и \( q_2 \), расположенных на расстоянии \( r \), потенциальная энергия их взаимодействия выражается формулой:

\[ W_{ij} = k \cdot \frac{q_i \cdot q_j}{r}, \]

где:

• \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \) — электростатическая постоянная,
• \( q_i, q_j \) — заряды (в кулонах),
• \( r \) — расстояние между зарядами (в метрах).

Для системы из трёх зарядов требуется рассмотреть взаимодействие каждой пары зарядов. Например, если заряды \( q_1 \), \( q_2 \), и \( q_3 \), то общая энергия системы записывается как:

\[ W = W_{12} + W_{13} + W_{23}, \]

где \( W_{12} \) — энергия взаимодействия зарядов \( q_1 \) и \( q_2 \), \( W_{13} \) — зарядов \( q_1 \) и \( q_3 \), \( W_{23} \) — зарядов \( q_2 \) и \( q_3 \).

Все величины должны быть переведены в систему СИ: заряды в кулоны (\(\text{Кл}\)), расстояния в метры (\(\text{м}\)).

Шаг 1. Даны:

• \( q_1 = 1 \, \text{нКл} = 1 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \),
• \( q_2 = 2 \, \text{нКл} = 2 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \),
• \( q_3 = 4 \, \text{нКл} = 4 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \),
• Сторона треугольника (расстояние между любыми двумя зарядами) \( r = 10 \, \text{см} = 0{,}1 \, \text{м} \),
• \( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2 \).

Шаг 2. Энергия каждой пары зарядов:

Расчитаем по формуле \( W_{ij} = k \cdot \frac{q_i \cdot q_j}{r} \).

Взаимодействие \( q_1 \) и \( q_2 \):

\[ W_{12} = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^{-9})}{0{,}1}. \]

Сначала перемножим заряды:

\[ q_1 \cdot q_2 = (1 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^{-9}) = 2 \cdot 10^{-18}. \]

Подставим в формулу:

\[ W_{12} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-18}}{0{,}1} = 9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = 1{,}8 \cdot 10^{-7} \, \text{Дж}. \]

Взаимодействие \( q_1 \) и \( q_3 \):

\[ W_{13} = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_3}{r} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1 \cdot 10^{-9}) \cdot (4 \cdot 10^{-9})}{0{,}1}. \]

Перемножим заряды:

\[ q_1 \cdot q_3 = (1 \cdot 10^{-9}) \cdot (4 \cdot 10^{-9}) = 4 \cdot 10^{-18}. \]

Подставим:

\[ W_{13} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-18}}{0{,}1} = 9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = 3{,}6 \cdot 10^{-7} \, \text{Дж}. \]

Взаимодействие \( q_2 \) и \( q_3 \):

\[ W_{23} = k \cdot \frac{q_2 \cdot q_3}{r} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-9}) \cdot (4 \cdot 10^{-9})}{0{,}1}. \]

Перемножим заряды:

\[ q_2 \cdot q_3 = (2 \cdot 10^{-9}) \cdot (4 \cdot 10^{-9}) = 8 \cdot 10^{-18}. \]

Подставим:

\[ W_{23} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-18}}{0{,}1} = 9 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = 7{,}2 \cdot 10^{-7} \, \text{Дж}. \]

Шаг 3. Общая энергия системы:

Сложим энергии всех пар:

\[ W = W_{12} + W_{13} + W_{23}. \]

Подставим значения:

\[ W = 1{,}8 \cdot 10^{-7} + 3{,}6 \cdot 10^{-7} + 7{,}2 \cdot 10^{-7}. \]

Сложим:

\[ W = 12{,}6 \cdot 10^{-7} = 1{,}26 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж}. \]

Ответ:

Энергия системы зарядов составляет:

\[ W = 1{,}26 \, \mu\text{Дж}. \]