Предмет: Физика
Раздел: Электростатика
Мы изучаем ситуацию, в которой шар радиуса \(R\) полностью заполнен зарядом. Объемная плотность заряда \(\rho\) является функцией радиальной координаты \(r\): \[\rho = a r^2,\] где \(a\) — константа. Наша цель — найти зависимость напряжённости электрического поля \(\mathbf{E}(r)\) от радиуса \(r\) внутри шара.
Шаг 1: Используем закон Гаусса
Для нахождения электрического поля воспользуемся законом Гаусса: \[\oint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}.\] Здесь:
- \( \oint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \) — поток электрического поля через поверхность сферы радиусом \(r\),
- \(q_{\text{внутр}}\) — заряд внутри этой поверхности,
- \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная.
Шаг 2: Поток электрического поля через сферу
Из-за симметрии задачи электрическое поле направлено радиально, и его величина \(E(r)\) одинакова на каждой точке сферы радиуса \(r\). Площадь поверхности такой сферы равна \(4\pi r^2\). Следовательно, поток электрического поля через поверхность сферы запишется так: \[\oint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E(r) \cdot 4\pi r^2.\]
Шаг 3: Выражаем заряд внутри сферы радиуса \(r\)
Теперь нужно найти заряд \(q_{\text{внутр}}\) внутри сферы радиуса \(r\). Объемный элемент в сферической системе координат равен \(dV = 4\pi r^2 dr\). Поэтому заряд в элементе объема \(dq = \rho(r)\, dV\). Подставим выражение для плотности заряда \(\rho = a r^2\): \[dq = a r^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi a r^4 dr,\] и полный заряд внутри сферы радиуса \(r\) получается интегрированием: \[q_{\text{внутр}} = \int_0^r 4 \pi a r'^4 dr' = 4 \pi a \int_0^r r'^4 dr'.\] Вычислим интеграл: \[\int_0^r r'^4 dr' = \frac{r^5}{5},\] следовательно, \[q_{\text{внутр}} = \frac{4 \pi a}{5} r^5.\]
Шаг 4: Применяем закон Гаусса
Теперь можем вернуться к закону Гаусса и подставить полученные выражения: \[E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4\pi a}{5} r^5.\] Сократим на \(4\pi\) и выразим \(E(r)\): \[E(r) = \frac{a r^3}{5 \varepsilon_0}.\]
Ответ
Напряжённость электрического поля внутри шара как функция радиуса \(r\) равна: \[E(r) = \frac{a r^3}{5 \varepsilon_0}.\] Электрическое поле внутри шара с объёмным распределением заряда, плотность которого зависит от радиальной координаты как \(\rho = a r^2\), возрастает с расстоянием от центра по закону \(\propto r^3\).