Найти заряд шарика

Данная задача относится к физике, раздел электростатики и механики. В задаче задействованы силы взаимодействия зарядов, упругие силы и сила тяжести.

Дано:

• Жесткость пружины: \( k = 10^3 \, \text{Н/м} \)
• Масса шарика: \( m = 15 \, \text{г} = 0.015 \, \text{кг} \)
• Расстояние до плоскости до зарядки: \( d = 6 \, \text{см} = 0.06 \, \text{м} \)
• После зарядки шарик опустился на \( b = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \)

Требуется найти заряд шарика.

Шаг 1: Анализ сил, действующих на шарик

На шарик действует 3 силы:

1. Сила тяжести \( F_g = mg \).
2. Сила упругости пружины \( F_p = kx \), где \( x = d - b \) — изменение длины пружины.
3. Электрическая сила от взаимодействия шарика с проводящей плоскостью. Для шарика над проводящей плоскостью эта сила аналогична взаимодействию шарика с зеркальным зарядом, расположенным на расстоянии \( d \) под плоскостью. Электрическая сила записывается как: \[ F_e = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 (2d)^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} \] , где \( q \) — заряд шарика, а \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \) — электрическая постоянная.

Шаг 2: Условие равновесия

В состоянии равновесия сумма сил равна 0:

\[ F_g + F_e = F_p \]

Запишем каждую силу:

\[ mg + \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} = kx \]

Подставим известные значения:

\[ 0.015 \times 9.8 + \frac{q^2}{16 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.06)^2} = 10^3 \times (0.06 - 0.03) \]

Вычислим некоторые промежуточные значения:

• \[ 0.015 \times 9.8 = 0.147 \, \text{Н} \]
• \[ k(d - b) = 1000 \times 0.03 = 30 \, \text{Н} \]

Теперь упростим выражение для электрической силы:

\[ F_e = \frac{q^2}{16 \times 3.14 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.0036} = \frac{q^2}{1.6 \times 10^{-12}} \]

Теперь подставим всё в уравнение:

\[ 0.147 + \frac{q^2}{1.6 \times 10^{-12}} = 30 \]

Решим это уравнение относительно \( q \):

\[ \frac{q^2}{1.6 \times 10^{-12}} = 30 - 0.147 \approx 29.853 \]

\[ q^2 = 29.853 \times 1.6 \times 10^{-12} \approx 47.765 \times 10^{-12} \]

\[ q = \sqrt{47.765 \times 10^{-12}} \approx 6.91 \times 10^{-6} \, \text{Кл} \]

Ответ:

Заряд шарика \( q \approx 6.91 \, \mu\text{Кл} \).