Найти заряд Q_1, который нужно поместить в центр треугольника для равновесия системы

Определение предмета и раздела

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (поток вектора напряжённости электрического поля)

Условие задачи 3.3

В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q_1 необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения со стороны заряда Q_1 уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?

Дано:

• Три одинаковых положительных заряда: Q = 2 нКл
• Форма расположения зарядов: равносторонний треугольник
• Требуется найти заряд Q_1, который нужно поместить в центр треугольника для равновесия системы

Решение:

1. Определим силы отталкивания между положительными зарядами

   Вершины равностороннего треугольника образуют симметричную систему. Каждая пара положительных зарядов отталкивается друг от друга с силой, определяемой законом Кулона:

    F = k \frac{Q^2}{r^2} 

   где:

   • k = 9 \cdot 10^9 Н·м²/Кл² (постоянная Кулона),
   • r — длина стороны треугольника.

2. Так как система симметрична, результирующая сила от всех трёх зарядов направлена из центра треугольника наружу.

3. Определим силу, действующую на каждый заряд

   Рассмотрим один из зарядов. На него действуют силы от двух других зарядов. Эти силы равны по модулю и направлены вдоль сторон треугольника.

   Проекции этих сил на радиальное направление (из центра треугольника) суммируются, а тангенциальные компоненты взаимно уничтожаются.

   Итоговая результирующая сила на один заряд:

    F_{\text{рез}} = 2F \cos 30^\circ = 2 \cdot k \frac{Q^2}{r^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = k \frac{Q^2 \sqrt{3}}{r^2} 

4. Определим заряд Q_1

   Заряд Q_1, помещённый в центр, создаёт силу притяжения к себе для каждого положительного заряда:

    F_1 = k \frac{Q Q_1}{(r/\sqrt{3})^2} = k \frac{Q Q_1}{r^2/3} = 3k \frac{Q Q_1}{r^2} 

   Для равновесия:

    3k \frac{Q Q_1}{r^2} = k \frac{Q^2 \sqrt{3}}{r^2} 

   Сократим k и r^2:

    3Q Q_1 = Q^2 \sqrt{3} 

   Выразим Q_1:

    Q_1 = \frac{Q \sqrt{3}}{3} 

   Подставим Q = 2 нКл:

    Q_1 = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 1.15  нКл.

Ответ: Q_1 \approx -1.15 нКл (отрицательный заряд).