Найти проекцию напряженности электрического поля на ось X в центре O окружности

Определение предмета

Задание относится к физике, а точнее к разделу электростатики, изучающему взаимодействие электрических зарядов и электрические поля, созданные этими зарядами.

Условие задачи

• Заряд равномерно распределён по окружности радиуса \( R = 31 \, \text{см} \).
• Линейная плотность заряда зависит от угла \( \vartheta \) по закону: \[ \lambda = a \cos \vartheta, \quad a = 44 \, \text{пКл/см}. \].
• Нужно найти проекцию напряженности электрического поля на ось \( X \) в центре \( O \) окружности.

Разбор задачи

Это типичная задача на вычисление напряженности поля системы зарядов с симметрией.

1. Элементарный заряд dQ для малого участка окружности \( dL = R d\vartheta \) находится по формуле: \[ dQ = \lambda dL = a \cos \vartheta \cdot R d\vartheta. \]
2. Для каждого элементарного заряда \( dQ \), создаваемая им электрическая напряженность на расстоянии \( R \) от точечного заряда, имеет величину: \[ d\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dQ}{R^2}. \] Напряженность компоненты на ось \( X \) будет: \[ dE_x = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dQ}{R^2} \cos \vartheta. \]
3. Подставляя \( dQ \): \[ dE_x = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{a \cos \vartheta \cdot R d\vartheta}{R^2} \cdot \cos \vartheta = \frac{a R d\vartheta}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \cos^2 \vartheta. \]
4. Интегрирование для нахождения полной напряженности \( E_x \) по всей окружности (от \( 0 \) до \( 2\pi \)): \[ E_x = \frac{a}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \vartheta d\vartheta. \]
5. Используя известное тождество тригонометрии: \[ \cos^2 \vartheta = \frac{1 + \cos 2\vartheta}{2}, \] интеграл становится: \[ \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \vartheta d\vartheta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos 2\vartheta) d\vartheta = \frac{1}{2} \left[ 2\pi \right] = \pi. \]
6. Подставляя результат: \[ E_x = \frac{a}{4 \pi \varepsilon_0 R} \cdot \pi = \frac{a}{4 \varepsilon_0 R}. \]

Численные расчёты

1. \( a = 44 \, \text{пКл/см} = 44 \cdot 10^{-12} \, \text{Кл/см} = 0.44 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл/м} \).
2. Радиус \( R = 31 \, \text{см} = 0.31 \, \text{м} \).
3. Электрическая постоянная: \( \varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \).
4. Подставляем значения в формулу напряженности: \[ E_x = \frac{0.44 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 0.31}. \] Считаем: \[ E_x \approx \frac{0.44 \cdot 10^{-9}}{1.0986 \cdot 10^{-11}} \approx 40.1 \, \text{В/м}. \]

Ответ

Напряженность электрического поля \( E_x \approx 40.1 \, \text{В/м} \).