Найти поверхностную плотность электрического заряда

Задание относится к теме электростатики (раздел физики), а именно к задачам, связанным с нахождением поверхностной плотности заряда через анализ структуры электрического поля в разных областях пространства.

Рассмотрим каждый участок по отдельности:

1. 0 < r < R1: E = 0

   Здесь электрическое поле равно нулю, следовательно, в этой области нет заряда (иначе бы существовало поле). Это означает, что плотность заряда в этой области также равна нулю. То есть: \[ \sigma(r) = 0 \quad \text{при} \quad 0 < r < R1 \]

2. R1 < r < R2: E = \(\frac{2kM}{r}\)

   Для сферических симметричных задач электрическое поле, связанное с зарядом внутри сферы радиуса \( r \), согласно закону Гаусса, определяется выражением: \[ E = \frac{k \cdot Q_{\text{внутр}}(r)}{r^2} \] где \( Q_{\text{внутр}}(r) \) — заряд, заключённый внутри радиуса \( r \). Из данного выражения электрического поля можно определить заряд внутри сферы радиуса \( r \): \[ E = \frac{2kM}{r} \] Подставляя это в выражение для электрического поля: \[ \frac{2kM}{r} = \frac{k \cdot Q_{\text{внутр}}(r)}{r^2} \] Умножив обе части на \( r^2 \): \[ 2kM \cdot r = k \cdot Q_{\text{внутр}}(r) \] Соответственно: \[ Q_{\text{внутр}}(r) = 2M \quad \text{(не зависит от }r) \] Если заряд равномерно распределён по поверхности радиуса \( R1 \), то можно считать, что весь этот заряд сосредоточен в радиусе \( R1 \). Следовательно, поверхностная плотность заряда на поверхности радиуса \( R1 \): \[ \sigma(R1) = \frac{Q_{\text{внутри}}(R1)}{4\pi R1^2} = \frac{2M}{4\pi R1^2} = \frac{M}{2\pi R1^2} \]

3. R2 < r < R3: E = \(\frac{4kM}{r}\)

   Аналогично предыдущему участку, используем закон Гаусса. Для электрического поля в этой области: \[ E = \frac{4kM}{r} \] Используя выражение из закона Гаусса: \[ \frac{4kM}{r} = \frac{k \cdot Q_{\text{внутр}}(r)}{r^2} \] Умножим обе части на \( r^2 \): \[ k \cdot Q_{\text{внутр}}(r) = 4kM \cdot r \] Следовательно: \[ Q_{\text{внутр}}(r) = 4M \] Заряд, сосредоточенный на поверхности радиуса \( R2 \), аналогично: \[ \sigma(R2) = \frac{4M}{4\pi R2^2} = \frac{M}{\pi R2^2} \]

4. R3 < r < R4: E = 2k\(\left(\frac{M + p \cdot (\pi R2^2 - \pi R3^2)}{r}\right)\)

   В этой области выражение для электрического поля: \[ E = 2k\left(\frac{M + p\cdot (\pi R2^2 - \pi R3^2)}{r}\right) \] Для нахождения заряда используем аналогичное выражение из закона Гаусса: \[ \frac{2k(M + p(\pi R2^2 - \pi R3^2))}{r} = \frac{k \cdot Q_{\text{внутр}}(r)}{r^2} \] Умножаем на \( r^2 \): \[ k \cdot Q_{\text{внутр}}(r) = 2k(M + p\cdot (\pi R2^2 - \pi R3^2)) \cdot r \] Заряд: \[ Q_{\text{внутр}}(r) = 2(M + p \cdot (\pi R2^2 - \pi R3^2)) \] Для определения поверхностной плотности заряда на радиусе \( R3 \), можно написать: \[ \sigma(R3) = \frac{Q_{\text{внутри}}(R3)}{4\pi R3^2} \] Подставляя: \[ \sigma(R3) = \frac{2(M + p \cdot (\pi R2^2 - \pi R3^2))}{4\pi R3^2} = \frac{M + p(\pi R2^2 - \pi R3^2)}{2\pi R3^2} \]

5. r > R4: E = k\(\left(\frac{2M}{r} + \frac{2p (\pi R2^2 - \pi R3^2)}{r} + \frac{2M}{r}\right)\)

Итоги:

• \( \sigma(R1) \) плотность заряда на поверхности радиуса \( R1 \): \(\frac{M}{2\pi R1^2} \)
• \( \sigma(R2) \) плотность заряда на поверхности радиуса \( R2 \): \(\frac{M}{ \pi R2^2} \)
• \( \sigma(R3) \) плотность заряда на поверхности радиуса \( R3 \): \(\frac{M + p(\pi R2^2 - \pi R3^2)}{2\pi R3^2} \)
• \( \sigma(R4) \) плотность заряда на поверхности радиуса \( R4 \): \(\frac{2(2M + 2p(\pi R2^2 - \pi R3^2))}{4\pi R4^2} \)

Каждый участок обладает своим зарядом и плотностью, что и определяет соответствующее распределение электрического поля.