Найти поток вектора напряженности электрического поля через две поверхности

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика — Теорема Гаусса-Остроградского. Электрический поток.

Условие задачи:

Найти поток вектора напряженности электрического поля через две поверхности:

а) Круглая площадка радиусом [R = 3{,}0\ \text{см}], расположенная перпендикулярно (нормально) к линиям напряженности поля [E = 700\ \text{В/м}].

б) Прямоугольная площадка со сторонами [a = 3{,}0\ \text{см}], [b = 2{,}0\ \text{см}], расположенная под углом [\alpha = 30^\circ] к линиям напряженности.

Теория:

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность определяется по формуле:

 \Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} = E S \cos\theta 

где:

• [\Phi_E] — поток вектора напряженности,
• [E] — модуль напряженности поля,
• [S] — площадь поверхности,
• [\theta] — угол между вектором поля и нормалью к поверхности.

Решение:

а) Круглая площадка, перпендикулярна полю

Поскольку площадка расположена нормально к линиям напряженности, угол [\theta = 0^\circ], и [\cos\theta = 1].

Площадь круга:

 S = \pi R^2 = \pi (0{,}03)^2 = \pi \cdot 0{,}0009 = 0{,}0009\pi\ \text{м}^2 

Поток:

 \Phi_E = E \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = 700 \cdot 0{,}0009\pi = 0{,}63\pi \approx 1{,}98\ \text{В}\cdot\text{м} 

б) Прямоугольная площадка, угол [\alpha = 30^\circ]

Площадь прямоугольника:

 S = a \cdot b = 0{,}03 \cdot 0{,}02 = 0{,}0006\ \text{м}^2 

Угол между вектором поля и нормалью к поверхности: [\theta = 30^\circ], тогда:

 \cos\theta = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} 

Поток:

 \Phi_E = E \cdot S \cdot \cos(30^\circ) = 700 \cdot 0{,}0006 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}21 \cdot \sqrt{3} \approx 0{,}21 \cdot 1{,}732 \approx 0{,}36\ \text{В}\cdot\text{м} 

Ответ:

а) Поток через круглую площадку:
\Phi_{E1} \approx 1{,}98\ \text{В}\cdot\text{м}

б) Поток через прямоугольную площадку:
\Phi_{E2} \approx 0{,}36\ \text{В}\cdot\text{м}