Найти потенциальную энергию П системы трех точечных зарядов

Предмет и раздел:

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (потенциальная энергия системы зарядов)

Решение задачи:

Потенциальная (взаимодействующая) энергия системы точечных зарядов определяется как сумма работ, необходимых для сборки этой системы зарядов.

Формула для потенциальной энергии системы \( n \) зарядов в общем случае:

\[ U = k \sum_{i < j} \frac{q_i q_j}{r_{ij}} \]

Где:

• \( k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м²/Кл²} \) — электрическая постоянная (коэффициент Кулона);
• \( q_i, q_j \) — заряды;
• \( r_{ij} \) — расстояние между зарядами \( q_i \) и \( q_j \).

ДАНО:

1. \( q_1 = 10 \, \text{нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \);
2. \( q_2 = 20 \, \text{нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \);
3. \( q_3 = -30 \, \text{нКл} = -30 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} \);
4. Сторона треугольника \( a = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м} \).

Шаг 1. Взаимодействие пар зарядов:

1. Между \( q_1 \) и \( q_2 \):

   \[ U_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r_{12}} \]
   \[ U_{12} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(10 \cdot 10^{-9})(20 \cdot 10^{-9})}{0.1} \]
   \[ U_{12} = 9 \cdot \frac{200 \cdot 10^{-18}}{0.1} \]
   \[ U_{12} = 18 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж} = 18 \, \mu\text{Дж}. \]

2. Между \( q_1 \) и \( q_3 \):

   \[ U_{13} = k \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \]
   \[ U_{13} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(10 \cdot 10^{-9})(-30 \cdot 10^{-9})}{0.1} \]
   \[ U_{13} = 9 \cdot \frac{-300 \cdot 10^{-18}}{0.1} \]
   \[ U_{13} = -27 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж} = -27 \, \mu\text{Дж}. \]

3. Между \( q_2 \) и \( q_3 \):

   \[ U_{23} = k \frac{q_2 q_3}{r_{23}} \]
   \[ U_{23} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(20 \cdot 10^{-9})(-30 \cdot 10^{-9})}{0.1} \]
   \[ U_{23} = 9 \cdot \frac{-600 \cdot 10^{-18}}{0.1} \]
   \[ U_{23} = -54 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж} = -54 \, \mu\text{Дж}. \]

Шаг 2. Суммируем потенциальные энергии:

Найдем полную потенциальную энергию системы:

\[ U = U_{12} + U_{13} + U_{23} \]
\[ U = 18 \, \mu\text{Дж} - 27 \, \mu\text{Дж} - 54 \, \mu\text{Дж} \]
\[ U = -63 \, \mu\text{Дж}. \]

Ответ:

Потенциальная энергия системы трёх зарядов: \[ U = -63 \, \mu\text{Дж} \, \text{(или \( -63 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж} \))}. \]

Объяснение:

• Потенциальная энергия отрицательна, так как в системе присутствуют взаимные притяжения между зарядами различного знака (\( q_1 \) и \( q_3 \), а также \( q_2 \) и \( q_3 \)).

Найдем вклад энергии для каждой пары зарядов: