Найти: Полный заряд стержня

Предмет: Физика
Раздел: Электростатика (электрическое поле, распределение заряда)

Условие задачи:

Дан тонкий стержень длиной [\ell], заряженный с линейной плотностью заряда [\tau = \alpha x], где [\alpha] — заданная константа, [x] — координата вдоль стержня (от одного его конца).

Найти:

1. Полный заряд стержня.
2. Напряжённость электрического поля в точке, лежащей на продолжении стержня на расстоянии [x_0] от его ближнего конца.

1. Найдем заряд стержня

Линейная плотность заряда:
[\tau(x) = \alpha x]

Тогда заряд элементарного участка стержня длиной [dx] равен:
[dq = \tau(x) dx = \alpha x dx]

Общий заряд стержня:
 \[ Q = \int_0^{\ell} \alpha x \, dx = \alpha \int_0^{\ell} x \, dx = \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\ell} = \frac{\alpha \ell^2}{2} \] 

2. Найдем напряженность поля в точке на продолжении стержня

Пусть точка находится на оси стержня, на расстоянии [x_0] от его ближнего конца (то есть по продолжению оси за началом координат). Тогда координата этой точки: [-x_0] (если начало координат — у ближнего конца стержня).

Рассмотрим элемент стержня длиной [dx] на расстоянии [x] от начала. Его заряд:
[dq = \alpha x dx]

Расстояние от этого элемента до точки наблюдения (в координате [-x_0]):
[r = x + x_0]

Элемент напряженности поля от этого заряда:
[dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{dq}{(x + x_0)^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\alpha x dx}{(x + x_0)^2}]

Поле направлено вдоль оси, поэтому скалярное сложение:

 \[ E = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^{\ell} \frac{x}{(x + x_0)^2} dx \] 

Выполним интегрирование:

Сделаем замену:
[u = x + x_0 \Rightarrow du = dx, \quad x = u - x_0]

Пределы интегрирования:
при [x = 0 \Rightarrow u = x_0],
при [x = \ell \Rightarrow u = \ell + x_0]

Тогда:

 \[ E = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \int_{x_0}^{\ell + x_0} \frac{u - x_0}{u^2} \, du = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \int_{x_0}^{\ell + x_0} \left( \frac{1}{u} - \frac{x_0}{u^2} \right) du \] 

Выполним интеграл:

 \[ E = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \ln u + \frac{x_0}{u} \right]_{x_0}^{\ell + x_0} = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \left( \ln\left( \frac{\ell + x_0}{x_0} \right) + x_0 \left( \frac{1}{\ell + x_0} - \frac{1}{x_0} \right) \right) \] 

Упростим:

 \[ E = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \left( \ln\left( \frac{\ell + x_0}{x_0} \right) + \left( \frac{x_0}{\ell + x_0} - 1 \right) \right) = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \left( \ln\left( \frac{\ell + x_0}{x_0} \right) - \frac{\ell}{\ell + x_0} \right) \] 

Ответ:

1. Полный заряд стержня:
   [Q = \frac{\alpha \ell^2}{2}]

2. Напряженность поля в точке на продолжении стержня:
    \[ E = \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \left( \ln\left( \frac{\ell + x_0}{x_0} \right) - \frac{\ell}{\ell + x_0} \right) \]