Найти плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаковым

Данное задание относится к физике, а именно к разделам электростатики и механики жидкостей.

Рассмотрим систему уравнений для решения задачи. Шарики подвешены на нитях, и между ними действует сила кулоновского взаимодействия и сила тяжести. Подразумевается, что в обоих средах угол отклонения шариков одинаков, что требует, чтобы отношение силы тяжести к электрической силе оставалось неизменным.

1. Определим силы, действующие на шарик в воздухе:
   • Сила тяжести: \( F_g = mg = \rho_m Vg \)
   • Сила кулоновского взаимодействия: \( F_e = \frac{k Q^2}{r^2} \)
2. Определим силы, действующие на шарик в керосине:
   • В керосине добавляется сила Архимеда: \( F_A = \rho_k Vg \)
   • Получается: \( F_{g, \text{effective}} = (\rho_m - \rho_k) Vg \)
   • Сила кулоновского взаимодействия внутри диэлектрика: \( F_{e, \text{ker}} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon r^2} \)

Пусть в обоих случаях отношение сил одинаково:

\[ \frac{F_g}{F_e} = \frac{F_{g, \text{effective}}}{F_{e, \text{ker}}} \]

Подставим соответствующие значения:

\[ \frac{\rho_m Vg}{\frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}} = \frac{(\rho_m - \rho_k) Vg}{\frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon r^2}} \]

При сокращении получается:

\[ \rho_m \cdot \epsilon = \rho_m - \rho_k \]

Теперь решим это уравнение относительно \( \rho_m \):

\[ \rho_m \epsilon = \rho_m - \rho_k \]

\[ \rho_m (\epsilon - 1) = \rho_k \]

\[ \rho_m = \frac{\rho_k}{\epsilon - 1} \]

Подставляем значения:

\[ \rho_k = 0.8 \text{ г/см}^3 \]

\[ \epsilon = 2 \]

\[ \rho_m = \frac{0.8 \text{ г/см}^3}{2 - 1} \]

\[ \rho_m = 0.8 \text{ г/см}^3 \]

Таким образом, плотность материала шариков должна быть \(0.8 \text{ г/см}^3\), чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаковым.