Найти напряженность поля

Условие:

Решение:

Этот ученый вопрос относится к разделу электростатики в физике. Давайте решим его шаг за шагом. Дано: - Радиус центральной жилы \( r_1 = 0.5 \) см - Радиус оболочки \( r_2 = 1.5 \) см - Разность потенциалов \( U = 1 \) кВ = 1000 В - Расстояние \( d = 1 \) см Требуется найти напряженность электрического поля на расстоянии \( d \) от оси коаксиального кабеля. 1. Коаксиальный кабель состоит из центральной проводящей жилы и цилиндрической оболочки. Поскольку плотность заряда равномерна и сосредоточена только на центральной жиле, используется симметрия для упрощения задачи. Так как поле радиально симметрично, воспользуемся законом Гаусса для радиальной симметрии: \[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] 2. Поскольку \( \mathbf{E} \) зависит только от радиуса и направлена радиально, выражение примет вид: \[ E \cdot 2\pi r L = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] Здесь \( r \) — радиус, на котором мы определяем поле, \( L \) — длина цилиндра, а \( \varepsilon_0 \) — электростатическая постоянная. 3. Теперь, чтобы найти напряженность поля \( E \) на расстоянии \( d \): \[ E = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 r L} \] 4. Чтобы найти заряд \( Q \), применим разность потенциалов \( U \) между оболочкой и центральной жилой. \[ U = \int_{r_1}^{r_2} E(r) \, dr \] 5. Найдем напряженность поля \( E(r) \): \[ E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} \] Здесь \( \lambda = \frac{Q}{L} \) — линейная плотность заряда. 6. Интегрируем: \[ U = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} \, dr = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r} \, dr \] \[ U = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left[ \ln r \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \frac{r_2}{r_1} \] 7. Из этого выражения найдем \( \lambda \): \[ \lambda = \frac{2 \pi \varepsilon_0 U}{\ln \frac{r_2}{r_1}} \] 8. Теперь подставим численные значения: \[ \lambda = \frac{2 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \times 1000 \, \text{В}}{\ln \left( \frac{1.5 \, \text{см}}{0.5 \, \text{см}} \right)} \] 9. Преобразуем радиусы в метры и найдём логарифм: \[ \lambda = \frac{2 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1000}{\ln 3} \approx 4.83 \times 10^{-8} \, \text{Кл/м} \] 10. Теперь найдем напряженность \( E \) на расстоянии \( d = 1 \) см = 0.01 м: \[ E(d) = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 d} = \frac{4.83 \times 10^{-8}}{2 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.01} \] 11. Итоговое значение: \[ E(d) \approx 8.68 \times 10^{4} \, В/м \] Итак, напряженность электрического поля на расстоянии \( d = 1 \) см от оси коаксиального кабеля составляет приблизительно \( 8.68 \times 10^{4} \) В/м.