Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полу-кольца с равномерно распределённым зарядом

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика (электрические поля)

Задача: Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полу-кольца с равномерно распределённым зарядом.

Условие:

Есть тонкое полу-кольцо радиусом $\text{(}R\text{)}$ с равномерно распределённым зарядом $\text{(}Q\text{)}$. Задача — найти напряженность $\text{(}\overrightarrow{E}\text{)}$ и потенциал $\text{(}\phi \text{)}$ электрического поля в центре полу-кольца.

Решение:

1. Определим систему координат и элементарный заряд:

   Пусть полу-кольцо расположено в плоскости $\text{(}Oxy\text{)}$, а его центр совпадает с началом координат (точка O). Заряд размазан равномерно по длине полу-кольца, так что линейная плотность заряда:

   $\text{[}\lambda =\frac{Q}{\pi R},\text{]}$

   где $\text{(}\lambda \text{)}$ — линейная плотность заряда, $\text{(}Q\text{)}$ — общий заряд полу-кольца, а $\text{(}\pi R\text{)}$ — длина самой дуги полу-кольца (половина периметра полного круга радиуса $\text{(}R\text{)}$).

   Для удобства каждую элементарную часть полу-кольца $\text{(}dq\text{)}$ будем задавать через элемент угла $\text{(}d\theta \text{)}$, где угол $\text{(}\theta \text{)}$ отсчитывается относительно оси $\text{(}OX\text{)}$. Длина каждого элементарного участка дуги:

   $\text{(}dl=Rd\theta \text{)},$

   и тогда:

   $\text{[}dq=\lambda dl=\lambda Rd\theta =\frac{Q}{\pi }d\theta .\text{]}$

2. Напряженность электрического поля $\text{(}\overrightarrow{E}\text{)}:$

   Элементарный заряд $\text{(}dq\text{)}$, находящийся под углом $\text{(}\theta \text{)}$ на расстоянии $\text{(}R\text{)}$ от центра, создает в центре электрическое поле $\text{(}d\overrightarrow{E}\text{)}$, направленное вдоль радиуса. Его величина:

   $\text{[}dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{R^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda Rd\theta }{R^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\pi R^2}d\theta .\text{]}$

   Разложим это поле на компоненты по осям. Компоненты поля по оси $\text{(}OX\text{)}$ от симметрично расположенных заряженных участков друг друга компенсируют, так как поле от двух точек с одинаковой абсциссой, но разными ординатами, будет направлено в противоположные стороны (при этом их суммы по оси $\text{(}OX\text{)}$ будет равна нулю). Для оси $\text{(}OY\text{)}$ компоненты суммируются, так как они всегда направлены в одну сторону.

   Компонента по оси $\text{(}OY\text{)}:$

   $\text{[}d{E}_y=dE\cdot \sin (\theta )=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\pi R^2}\sin (\theta )d\theta .\text{]}$

   Для получения полной напряженности интегрируем по углу от $\text{(}0\text{)}$ до $\text{(}\pi \text{)}:$

   $\text{[}{E}_y={\int }_0^{\pi }d{E}_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\pi R^2}{\int }_0^{\pi }\sin (\theta )d\theta =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\pi R^2}{[-\cos (\theta )]}_0^{\pi }.\text{]}$

   Подставляя пределы интегрирования:

   $\text{[}{E}_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{\pi R^2}(1-(-1))=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Q}{\pi R^2}.\text{]}$

   Напряженность поля в центре кольца:

   $\text{[}E=\frac{2Q}{4\pi {\epsilon }_0\pi R^2}=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{R}^2}.\text{]}$

3. Потенциал $\text{(}\phi \text{)}:$

   Потенциал в центре создаётся суммой потенциалов от всех элементарных зарядов, при этом потенциал — это скалярная величина, поэтому его интегрирование не потребует разбора компонент. Потенциал, создаваемый элементарным зарядом $\text{(}dq\text{)}$ на расстоянии $\text{(}R\text{)}$, равен:

   $\text{[}d\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{R}.\text{]}$

   Интегрируем по всей дуге от $\text{(}0\text{)}$ до $\text{(}\pi \text{)}:$

   $\text{[}\phi ={\int }_0^{\pi }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{R}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{0}R}{\int }_0^{\pi }dq=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{0}R}\cdot Q.\text{]}$

   Итак, потенциал в центре полу-кольца:

Ответы:

• Напряженность электрического поля $\text{(}E=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_0{R}^2}.\text{)}$
• Потенциал $\text{(}\phi =\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}.\text{)}$

$\text{[}\phi =\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}.\text{]}$