Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полу-кольца с равномерно распределённым зарядом

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика (электрические поля)

Задача: Найти напряженность и потенциал электрического поля в центре тонкого полу-кольца с равномерно распределённым зарядом.

Условие:

Есть тонкое полу-кольцо радиусом \( R \) с равномерно распределённым зарядом \( Q \). Задача — найти напряженность \( \vec{E} \) и потенциал \( \varphi \) электрического поля в центре полу-кольца.

Решение:

1. Определим систему координат и элементарный заряд:

   Пусть полу-кольцо расположено в плоскости \( Oxy \), а его центр совпадает с началом координат (точка O). Заряд размазан равномерно по длине полу-кольца, так что линейная плотность заряда:

   \[ \lambda = \frac{Q}{\pi R}, \]

   где \( \lambda \) — линейная плотность заряда, \( Q \) — общий заряд полу-кольца, а \( \pi R \) — длина самой дуги полу-кольца (половина периметра полного круга радиуса \( R \)).

   Для удобства каждую элементарную часть полу-кольца \( dq \) будем задавать через элемент угла \( d\theta \), где угол \( \theta \) отсчитывается относительно оси \( OX \). Длина каждого элементарного участка дуги:

   \( dl = R d\theta \),

   и тогда:

   \[ dq = \lambda dl = \lambda R d\theta = \frac{Q}{\pi} d\theta. \]

2. Напряженность электрического поля \( \vec{E} \):

   Элементарный заряд \( dq \), находящийся под углом \( \theta \) на расстоянии \( R \) от центра, создает в центре электрическое поле \( d\vec{E} \), направленное вдоль радиуса. Его величина:

   \[ dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\pi R^2} d\theta. \]

   Разложим это поле на компоненты по осям. Компоненты поля по оси \( OX \) от симметрично расположенных заряженных участков друг друга компенсируют, так как поле от двух точек с одинаковой абсциссой, но разными ординатами, будет направлено в противоположные стороны (при этом их суммы по оси \( OX \) будет равна нулю). Для оси \( OY \) компоненты суммируются, так как они всегда направлены в одну сторону.

   Компонента по оси \( OY \):

   \[ dE_y = dE \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\pi R^2} \sin(\theta) d\theta. \]

   Для получения полной напряженности интегрируем по углу от \( 0 \) до \( \pi \):

   \[ E_y = \int_0^\pi dE_y = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\pi R^2} \int_0^\pi \sin(\theta) d\theta = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\pi R^2} \left[-\cos(\theta)\right]_0^\pi. \]

   Подставляя пределы интегрирования:

   \[ E_y = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\pi R^2} (1 - (-1)) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2Q}{\pi R^2}. \]

   Напряженность поля в центре кольца:

   \[ E = \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 \pi R^2} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 R^2}. \]

3. Потенциал \( \varphi \):

   Потенциал в центре создаётся суммой потенциалов от всех элементарных зарядов, при этом потенциал — это скалярная величина, поэтому его интегрирование не потребует разбора компонент. Потенциал, создаваемый элементарным зарядом \( dq \) на расстоянии \( R \), равен:

   \[ d\varphi = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R}. \]

   Интегрируем по всей дуге от \( 0 \) до \( \pi \):

   \[ \varphi = \int_0^\pi \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^\pi dq = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 R} \cdot Q. \]

   Итак, потенциал в центре полу-кольца:

Ответы:

• Напряженность электрического поля \( E = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 R^2}. \)
• Потенциал \( \varphi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}. \)

\[ \varphi = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}. \]