Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нам нужно найти модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким прямым стержнем длиной \( 2a \), равномерно заряженным зарядом \( q \). Мы рассмотрим два случая:
Пусть линейная плотность заряда \( \lambda = \frac{q}{2a} \). Разделим стержень на элементарные участки длиной \( dx \). Тогда заряд каждого участка:
\[ dq = \lambda dx = \frac{q}{2a} dx. \]
Точка наблюдения находится на расстоянии \( r \) перпендикулярно стержню. Рассмотрим вклад от элементарного участка \( dx \), расположенного на расстоянии \( x \) от центра стержня.
Элементарное поле от \( dq \) в точке на расстоянии \( r \) будет равно:
\[ dE = \frac{k_e \, dq}{(x^2 + r^2)}. \]
Поле \( dE \) направлено вдоль линии, соединяющей точку наблюдения с элементом \( dq \). Разложим \( dE \) на компоненты. Горизонтальные компоненты (параллельно стержню) взаимно сократятся, так как вклад от симметрично расположенных элементов равен по модулю и противоположен по направлению. Суммируются только вертикальные компоненты:
\[ dE_y = dE \cdot \frac{r}{\sqrt{x^2 + r^2}} = \frac{k_e \, dq \, r}{(x^2 + r^2)^{3/2}}. \]
Подставляя \( dq = \frac{q}{2a} dx \), получаем:
\[ dE_y = \frac{k_e \, r \, \frac{q}{2a} \, dx}{(x^2 + r^2)^{3/2}}. \]
Интегрируем по всему стержню от \( -a \) до \( a \):
\[ E = \int_{-a}^a \frac{k_e \, r \, \frac{q}{2a} \, dx}{(x^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{k_e \, q \, r}{2a} \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2 + r^2)^{3/2}}. \]
Используем известный интеграл:
\[ \int \frac{dx}{(x^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{x}{r^2 \sqrt{x^2 + r^2}}. \]
В пределах от \( -a \) до \( a \), этот интеграл дает:
\[ \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2 + r^2)^{3/2}} = \left[ \frac{x}{r^2 \sqrt{x^2 + r^2}} \right]_{-a}^a = \frac{a}{r^2 \sqrt{a^2 + r^2}} - \left(- \frac{a}{r^2 \sqrt{a^2 + r^2}}\right) = \frac{2a}{r^2 \sqrt{a^2 + r^2}}. \]
Подставляя это в выражение для \( E \), получаем:
\[ E = \frac{k_e q r}{2a} \cdot \frac{2a}{r^2 \sqrt{a^2 + r^2}} = \frac{k_e q r}{r^2 \sqrt{a^2 + r^2}} = \frac{k_e q}{r \sqrt{a^2 + r^2}}. \]
Точка наблюдения находится на расстоянии \( z \) от центра стержня вдоль его оси. Опять разделим стержень на элементарные участки длиной \( dx \). Заряд каждого участка:
\[ dq = \frac{q}{2a} dx. \]
Для элемента \( dx \), находящегося на расстоянии \( x \) от центра стержня, расстояние до точки наблюдения равно \( \sqrt{x^2 + z^2} \). Поле от \( dq \) имеет только осевую составляющую (вертикальные компоненты симметрично компенсируются):
\[ dE_z = \frac{k_e \, dq}{(x^2 + z^2)} \cdot \frac{z}{\sqrt{x^2 + z^2}} = \frac{k_e \, z \, dq}{(x^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Подставляя \( dq = \frac{q}{2a} dx \), получаем:
\[ dE_z = \frac{k_e \, z \, \frac{q}{2a} \, dx}{(x^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Интегрируем по всему стержню:
\[ E = \int_{-a}^a \frac{k_e \, z \, \frac{q}{2a} \, dx}{(x^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{k_e \, q \, z}{2a} \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Этот интеграл мы уже решали ранее:
\[ \int_{-a}^a \frac{dx}{(x^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{2a}{z^2 \sqrt{a^2 + z^2}}. \]
Подставляем:
\[ E = \frac{k_e \, q \, z}{2a} \cdot \frac{2a}{z^2 \sqrt{a^2 + z^2}} = \frac{k_e \, q}{z \sqrt{a^2 + z^2}}. \]
Когда \( r \gg a \) или \( z \gg a \), \( \sqrt{a^2 + r^2} \approx r \), и \( \sqrt{a^2 + z^2} \approx z \). В этих случаях:
Для перпендикулярной прямой:
\[ E \approx \frac{k_e q}{r^2}. \]
Для оси стержня:
\[ E \approx \frac{k_e q}{z^2}. \]
Оба выражения соответствуют полю точечного заряда \( q \), так как на больших расстояниях стержень ведет себя как точечный заряд.
При \( r \gg a \) и \( z \gg a \): \( E \approx \frac{k_e q}{r^2} \) или \( E \approx \frac{k_e q}{z^2} \).