Найти модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким прямым стержнем

Предмет и раздел: Физика, раздел "Электростатика".

Задача:

Нам нужно найти модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким прямым стержнем длиной $\text{(}2a\text{)}$, равномерно заряженным зарядом $\text{(}q\text{)}$. Мы рассмотрим два случая:

1. Точка наблюдения лежит на прямой, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.
2. Точка наблюдения лежит на оси стержня.

Решение:

1. Напряженность в точке на прямой, перпендикулярной стержню (расстояние $\text{(}r\text{)}$).

Разделение стержня на элементы:

Пусть линейная плотность заряда $\text{(}\lambda =\frac{q}{2a}\text{)}$. Разделим стержень на элементарные участки длиной $\text{(}dx\text{)}$. Тогда заряд каждого участка:

$\text{[}dq=\lambda dx=\frac{q}{2a}dx.\text{]}$

Точка наблюдения находится на расстоянии $\text{(}r\text{)}$ перпендикулярно стержню. Рассмотрим вклад от элементарного участка $\text{(}dx\text{)}$, расположенного на расстоянии $\text{(}x\text{)}$ от центра стержня.

Напряженность от элементарного заряда:

Элементарное поле от $\text{(}dq\text{)}$ в точке на расстоянии $\text{(}r\text{)}$ будет равно:

$\text{[}dE=\frac{k_{e}dq}{(x^2+r^2)}.\text{]}$

Поле $\text{(}dE\text{)}$ направлено вдоль линии, соединяющей точку наблюдения с элементом $\text{(}dq\text{)}$. Разложим $\text{(}dE\text{)}$ на компоненты. Горизонтальные компоненты (параллельно стержню) взаимно сократятся, так как вклад от симметрично расположенных элементов равен по модулю и противоположен по направлению. Суммируются только вертикальные компоненты:

$\text{[}d{E}_y=dE\cdot \frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}=\frac{k_{e}dqr}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Подставляя $\text{(}dq=\frac{q}{2a}dx\text{)}$, получаем:

$\text{[}d{E}_y=\frac{k_{e}r\frac{q}{2a}dx}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Полное поле:

Интегрируем по всему стержню от $\text{(}-a\text{)}$ до $\text{(}a\text{)}$:

$\text{[}E={\int }_{-a}^a\frac{k_{e}r\frac{q}{2a}dx}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}=\frac{k_{e}qr}{2a}{\int }_{-a}^a\frac{dx}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Используем известный интеграл:

$\text{[}\int \frac{dx}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}=\frac{x}{r^2\sqrt{x^2+r^2}}.\text{]}$

В пределах от $\text{(}-a\text{)}$ до $\text{(}a\text{)}$, этот интеграл дает:

$\text{[}{\int }_{-a}^a\frac{dx}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}={\left[\frac{x}{r^2\sqrt{x^2+r^2}}\right]}_{-a}^a=\frac{a}{r^2\sqrt{a^2+r^2}}-(-\frac{a}{r^2\sqrt{a^2+r^2}})=\frac{2a}{r^2\sqrt{a^2+r^2}}.\text{]}$

Подставляя это в выражение для $\text{(}E\text{)}$, получаем:

$\text{[}E=\frac{k_{e}qr}{2a}\cdot \frac{2a}{r^2\sqrt{a^2+r^2}}=\frac{k_{e}qr}{r^2\sqrt{a^2+r^2}}=\frac{k_{e}q}{r\sqrt{a^2+r^2}}.\text{]}$

2. Напряженность в точке на оси стержня (расстояние $\text{(}z\text{)}$).

Разделение стержня:

Точка наблюдения находится на расстоянии $\text{(}z\text{)}$ от центра стержня вдоль его оси. Опять разделим стержень на элементарные участки длиной $\text{(}dx\text{)}$. Заряд каждого участка:

$\text{[}dq=\frac{q}{2a}dx.\text{]}$

Для элемента $\text{(}dx\text{)}$, находящегося на расстоянии $\text{(}x\text{)}$ от центра стержня, расстояние до точки наблюдения равно $\text{(}\sqrt{x^2+z^2}\text{)}$. Поле от $\text{(}dq\text{)}$ имеет только осевую составляющую (вертикальные компоненты симметрично компенсируются):

$\text{[}d{E}_z=\frac{k_{e}dq}{(x^2+z^2)}\cdot \frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}=\frac{k_{e}zdq}{(x^2+z^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Подставляя $\text{(}dq=\frac{q}{2a}dx\text{)}$, получаем:

$\text{[}d{E}_z=\frac{k_{e}z\frac{q}{2a}dx}{(x^2+z^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Полное поле:

Интегрируем по всему стержню:

$\text{[}E={\int }_{-a}^a\frac{k_{e}z\frac{q}{2a}dx}{(x^2+z^2{)}^{3/2}}=\frac{k_{e}qz}{2a}{\int }_{-a}^a\frac{dx}{(x^2+z^2{)}^{3/2}}.\text{]}$

Этот интеграл мы уже решали ранее:

$\text{[}{\int }_{-a}^a\frac{dx}{(x^2+z^2{)}^{3/2}}=\frac{2a}{z^2\sqrt{a^2+z^2}}.\text{]}$

Подставляем:

$\text{[}E=\frac{k_{e}qz}{2a}\cdot \frac{2a}{z^2\sqrt{a^2+z^2}}=\frac{k_{e}q}{z\sqrt{a^2+z^2}}.\text{]}$

3. Исследование пределов при $\text{(}r\gg a\text{)}$ и $\text{(}z\gg a\text{)}$.

Когда $\text{(}r\gg a\text{)}$ или $\text{(}z\gg a\text{)}$, $\text{(}\sqrt{a^2+r^2}\approx r\text{)}$, и $\text{(}\sqrt{a^2+z^2}\approx z\text{)}$. В этих случаях:

Для перпендикулярной прямой:

$\text{[}E\approx \frac{k_{e}q}{r^2}.\text{]}$

Для оси стержня:

$\text{[}E\approx \frac{k_{e}q}{z^2}.\text{]}$

Оба выражения соответствуют полю точечного заряда $\text{(}q\text{)}$, так как на больших расстояниях стержень ведет себя как точечный заряд.

Ответ:

1. Для перпендикулярной прямой: $\text{(}E=\frac{k_{e}q}{r\sqrt{a^2+r^2}}\text{)}$.
2. Для оси стержня: $\text{(}E=\frac{k_{e}q}{z\sqrt{a^2+z^2}}\text{)}$.

При $\text{(}r\gg a\text{)}$ и $\text{(}z\gg a\text{)}$: $\text{(}E\approx \frac{k_{e}q}{r^2}\text{)}$ или $\text{(}E\approx \frac{k_{e}q}{z^2}\text{)}$.