Найдите зависимость φ(r), постройте график. Особенности взаимного расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля

Данное задание относится к теме электростатики, раздела физики, и касается закономерностей изменения электрического поля и потенциала.

Разбор задания:

1. Найдите зависимость φ(r), постройте график. Считать значения E₁ и R, заданными. Из условия известно, что зависимость \( E = f(r) \) представлена на графике.

График состоит из двух участков:

• Для участка от 0 до \( r = R \): поле \( E = \frac{E_1}{R} r \).
• Для участка от \( r > R \): поле убывает по закону \( E = \frac{C}{r^2} \), где \( C \) — некоторая константа.

Теперь нужно найти потенциал \( \varphi(r) \). Для этого используем связь между электрическим полем \( E \) и потенциалом \( \varphi(r) \):

\[ E = - \frac{d\varphi}{dr}. \]

Чтобы найти потенциал \( \varphi(r) \), нужно проинтегрировать:

1. Для интервала \( 0 \leq r \leq R \):

Здесь \( E(r) = \frac{E_1}{R} r \). Интегрируем:

\[ \frac{d\varphi}{dr} = -E(r) = -\frac{E_1}{R}r, \]

\[ \varphi(r) = -\int_0^r \frac{E_1}{R} r' dr' = -\frac{E_1}{R} \cdot \frac{r^2}{2}. \]

Значит, зависимость для потенциала на данном участке:

\[ \varphi(r) = -\frac{E_1}{2R} r^2 + C_1, \]

где \( C_1 \) — константа, которая будет определена позже.

2. Для интервала \( r > R \):

Здесь поле \( E(r) = \frac{C}{r^2} \). Интегрируем:

\[ \frac{d\varphi}{dr} = -\frac{C}{r^2}, \]

\[ \varphi(r) = \frac{C}{r} + C_2. \]

С помощью граничных условий на границе \( r = R \), можно найти \( C_1 \) и \( C_2 \). Потенциал должен быть непрерывным, т.е. при \( r = R \) значения потенциалов на обоих участках равны. Для точных вычислений нужно уточнять граничные условия, но в общем виде потенциалы будут зависеть от параметров \( E_1 \) и \( R \).

2. Особенности взаимного расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля.

Эквипотенциальные поверхности — это поверхности, на которых потенциал постоянен. Силовые линии электрического поля направлены в сторону уменьшения потенциала и всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

• В случае точечного заряда эквипотенциальные поверхности — сферы, концентрические с зарядом.
• Силовые линии — радиальные, направленные либо к заряду (если заряд отрицательный), либо от заряда (если заряд положительный).

Следовательно, силовые линии всегда пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.