Найдите зависимость φ(r), постройте график. Особенности взаимного расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля

Условие:

Условие дано на изображении

Решение:

Данное задание относится к теме **электростатики**, раздела **физики**, и касается закономерностей изменения электрического поля и потенциала. ### Разбор задания: #### 1. Найдите зависимость φ(r), постройте график. Считать значения E₁ и R, заданными. Из условия известно, что зависимость \( E = f(r) \) представлена на графике. График состоит из двух участков: - Для участка от 0 до \( r = R \): поле \( E = \frac{E_1}{R} r \). - Для участка от \( r > R \): поле убывает по закону \( E = \frac{C}{r^2} \), где \( C \) — некоторая константа. Теперь нужно найти потенциал \(\varphi(r)\). Для этого используем связь между электрическим полем \( E \) и потенциалом \(\varphi(r)\): \[ E = - \frac{d\varphi}{dr}. \] Чтобы найти потенциал \(\varphi(r)\), нужно проинтегрировать: ##### 1. Для интервала \( 0 \leq r \leq R \): Здесь \( E(r) = \frac{E_1}{R} r \). Интегрируем: \[ \frac{d\varphi}{dr} = -E(r) = -\frac{E_1}{R}r, \] \[ \varphi(r) = -\int_0^r \frac{E_1}{R} r' dr' = -\frac{E_1}{R} \cdot \frac{r^2}{2}. \] Значит, зависимость для потенциала на данном участке: \[ \varphi(r) = -\frac{E_1}{2R} r^2 + C_1, \] где \( C_1 \) — константа, которая будет определена позже. ##### 2. Для интервала \( r > R \): Здесь поле \( E(r) = \frac{C}{r^2} \). Интегрируем: \[ \frac{d\varphi}{dr} = -\frac{C}{r^2}, \] \[ \varphi(r) = \frac{C}{r} + C_2. \] С помощью граничных условий на границе \( r = R \), можно найти \( C_1 \) и \( C_2 \). Потенциал должен быть непрерывным, т.е. при \( r = R \) значения потенциалов на обоих участках равны. Для точных вычислений нужно уточнять граничные условия, но в общем виде потенциалы будут зависеть от параметров \( E_1 \) и \( R \). #### 2. Особенности взаимного расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности — это поверхности, на которых потенциал постоянен. Силовые линии электрического поля направлены в сторону уменьшения потенциала и всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. - В случае точечного заряда эквипотенциальные поверхности — сферы, концентрические с зарядом. - Силовые линии — радиальные, направленные либо к заряду (если заряд отрицательный), либо от заряда (если заряд положительный). Следовательно, силовые линии всегда пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.