Предмет: Электричество и магнетизм (раздел: Электростатика). Задача заключается в нахождении одной из неизвестных величин в системе концентрических сфер с электрическим зарядом.
Анализ: У нас есть две сферы:
- внутренняя сфера радиусом \( R_1 = 23 \, \text{см}\) с зарядом \( q_1 \),
- внешняя тонкостенная сфера радиусом \( R_2 = 28 \, \text{см}\) с зарядом \( q_2 = 1{,}1 \, \text{нКл} \).
Известные величины:
- Потенциал внутренней сферы \( \varphi_1 = -110 \, \text{В}\),
- Потенциал внешней сферы \( \varphi_2 \) (заполнять не нужно),
- Радиус точки нахождения электрического потенциала \( r = 25 \, \text{см} \) от центра системы,
- Напряженность электрического поля в точке \( E \) (определить позже).
Шаги решения:
Нам нужно найти неизвестную величину — заряд внутренней сферы \( q_1 \).
Формулы для потенциалов:
- Потенциал электростатического поля снаружи сферы с радиусом \(R\) на расстоянии \(r\) от центра (для точки на расстоянии \(r_1 < r < r_2\)):
\[
\varphi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R_2} \right),
\] где \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная, \( \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \).
- Потенциал внутренней сферы \( \varphi_1 \):
Мы знаем, что \( \varphi_1 = -110 \, \text{В} \), и эта точка находится на радиусе \( R_1 \), поэтому формула для потенциала на поверхности внутренней сферы:
\[
\varphi_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_2}{R_2} \right).
\]
Решение уравнения для нахождения \( q_1 \):
Преобразуем: \[
-110 = \frac{1}{4 \pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} \left( \frac{q_1}{0{,}23} + \frac{1{,}1 \cdot 10^{-9}}{0{,}28} \right).
\]
Найдем постоянную часть: \[
\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2.
\]
Теперь уравнение выглядит так: \[
-110 = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{q_1}{0{,}23} + \frac{1{,}1 \cdot 10^{-9}}{0{,}28} \right).
\]
Вычислим добавку от внешней сферы: \[
\frac{1{,}1 \cdot 10^{-9}}{0{,}28} \approx 3{,}93 \cdot 10^{-9}.
\]
Подставим это обратно: \[
-110 = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{q_1}{0{,}23} + 3{,}93 \cdot 10^{-9} \right).
\]
Преобразуем: \[
-110 = \frac{9 \cdot 10^9 q_1}{0{,}23} + 35{,}37.
\]
\[
-145{,}37 = \frac{9 \cdot 10^9 q_1}{0{,}23}.
\]
Найдем \( q_1 \): \[
q_1 = \frac{-145{,}37 \cdot 0{,}23}{9 \cdot 10^9}.
\]
\[
q_1 \approx -3{,}717 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл} = -3{,}72 \, \text{нКл}.
\]
Ответ: Заряд внутренней сферы \( q_1 \approx -3{,}72 \, \text{нКл} \).