Нахождение напряжённости электрического поля, потенциала и плотности тока, создаваемых заряженными цилиндрами в системе с цилиндрической симметрией

Определим предмет и раздел предмета задания.

Примерное определение предмета:

1. Предмет: Физика
2. Раздел: Электростатика
3. Тема: Электрические поля, потенциалы и распределение зарядов в цилиндрической геометрии

Задание касается нахождения напряжённости электрического поля \(E(r)\), потенциала \(\varphi(r)\) и плотности тока, создаваемых заряженными цилиндрами в системе с цилиндрической симметрией. Для этого воспользуемся законом Гаусса и основными формулами электростатики.

Теперь разберёмся с решением задачи.

Дано:

• Заряженный металлический цилиндр радиуса \(R_1\) с зарядом \(M_1\),
• Заряженный металлический тонкостенный цилиндр радиуса \(R_2\) с зарядом \(M_2\),
• Заряженный цилиндрический слой с радиусами \(R_3\) и \(R_4\) с объёмной плотностью заряда \(\rho\).

Требуется найти:

1. \(E(r)\) — электрическую напряжённость в зависимости от радиуса \(r\),
2. \(\varphi(r)\) — электростатический потенциал в зависимости от радиуса \(r\),
3. \(G(r)\) — электрическую индукцию или поток через поверхность радиуса.

Задача имеет цилиндрическую симметрию, поэтому используем закон Гаусса в интегральной форме.

1. Нахождение электрического поля \(E(r)\)

Для нахождения электрического поля \(E(r)\) воспользуемся законом Гаусса. Рассмотрим различные области \(r\) по отношению к радиусам \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\):

Область 1: \(r < R_1\) (внутри металлического цилиндра)

Внутри проводника электрическое поле равно нулю, так как заряд перераспределяется только на поверхности.

E(r) = 0 \quad \text{при} \, r < R_1

Область 2: \(R_1 < r < R_2\) (между внутренним и средним цилиндрами)

Используем закон Гаусса: Для радиусов \(r\) между \(R_1\) и \(R_2\), заряд находится на поверхности цилиндра радиуса \(R_1\). Применяя закон Гаусса в цилиндрической симметрии, поток через поверхность радиуса \(r\) равен \(\Phi_E = E(r) \cdot 2\pi r L\), где \(L\) — длина цилиндра. Согласно закону Гаусса:

\oint E \, dA = \frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}

Где \(Q_{\text{внутр}}\) — заряд, заключённый внутри поверхности радиуса \(r\). Заряд внутри для радиуса \(R_1\) равен \(M_1\). Получаем:

E(r) \cdot 2 \pi r L = \frac{M_1}{\varepsilon_0}

Отсюда:

E(r) = \frac{M_1}{2 \pi \varepsilon_0 r L} \quad \text{при} \, R_1 < r < R_2

Область 3: \(R_2 < r < R_3\) (между средним цилиндром и цилиндрическим слоем)

В этом диапазоне, между \(R_2\) и \(R_3\), учитываем заряд на цилиндре радиуса \(R_2\). Тогда поток через поверхность радиуса \(r\) даёт:

E(r) \cdot 2 \pi r L = \frac{M_1 + M_2}{\varepsilon_0}

Отсюда:

E(r) = \frac{M_1 + M_2}{2 \pi \varepsilon_0 r L} \quad \text{при} \, R_2 < r < R_3

Область 4: \(R_3 < r < R_4\) (внутри цилиндрического слоя с объёмным зарядом)

Теперь мы имеем объёмную плотность заряда \(\rho\) в слое между \(R_3\) и \(R_4\). Заряд внутри радиуса \(r\) будет зависеть от радиуса и плотности. Заряд в объёме до радиуса \(r\) внутри слоя:

Q(r) = M_1 + M_2 + \int_{R_3}^{r} \rho \cdot 2 \pi r' L \, dr' = M_1 + M_2 + \pi L \rho (r^2 - R_3^2)

Используя закон Гаусса:

E(r) \cdot 2 \pi r L = \frac{Q(r)}{\varepsilon_0}

Подставим выражение для \(Q(r)\):

E(r) \cdot 2 \pi r L = \frac{M_1 + M_2 + \pi L \rho (r^2 - R_3^2)}{\varepsilon_0}

Отсюда:

E(r) = \frac{M_1 + M_2}{2 \pi \varepsilon_0 r L} + \frac{\rho (r^2 - R_3^2)}{2 \varepsilon_0 r} \quad \text{при} \, R_3 < r < R_4

Область 5: \(r > R_4\) (вне цилиндрического слоя)

В этой области суммарный заряд всех тел рассматривается как точечный заряд, и поле уменьшается как у точечного заряда. Суммарный заряд:

Q_{\text{сумм}} = M_1 + M_2 + \pi L \rho (R_4^2 - R_3^2)

Используя закон Гаусса:

E(r) = \frac{Q_{\text{сумм}}} {2 \pi \varepsilon_0 r L} \quad \text{при} \, r > R_4

2. Нахождение потенциала \( \varphi(r) \)

Потенциал можно найти через напряжённость электрического поля:

\varphi(r) = - \int E(r) \, dr

Здесь нужно интегрировать выражения для \(E(r)\) в каждом регионе. Для упрощения представления разложим любое выражение для \(E(r)\) по участкам, как мы сделали выше для \(E(r)\) и проинтегрируем по радиусу с учётом граничных условий.

3. Нахождение потока \( G(r) \)

Электрический поток через поверхность радиуса \(r\) связан с электрической индукцией:

G(r) = D(r) = \varepsilon_0 E(r)

Таким образом, зная \(E(r)\) для каждой области, легко найти поток:

G(r) = \varepsilon_0 E(r)

Таким образом, решением задачи является набор выражений для \(E(r)\), \( \varphi(r) \), и \( G(r) \) для каждого диапазона \(r\), определённого в задаче. Все шаги выполнены строго по закону Гаусса и законам электростатики для цилиндрических тел.