Нахождение электрического поля от бесконечно длинных цилиндров с известными зарядами

Предмет: Физика Раздел: Электростатика

Данное задание относится к электростатике и связано с нахождением электрического поля от бесконечно длинных цилиндров с известными зарядами. Для решения задачи мы будем использовать закон Гаусса.

Условие задачи:

Есть два коаксиальных бесконечно длинных цилиндра радиусами \( R \) и \( 2R \), на которых равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями \( -\sigma \) и \( \sigma \), соответственно. Нужно найти модуль напряженности электрического поля \( E \) как функцию от \( r \) (расстояние от центра системы), а также построить график зависимости \( E(r) \).

Для решения задачи, рассмотрим три зоны:

1. Внутри внутреннего цилиндра (\( r < R \)).
2. Между цилиндрами (\( R \leq r < 2R \)).
3. Вне внешнего цилиндра (\( r \geq 2R \)).

Решение:

1. Зона внутри внутреннего цилиндра (\( r < R \)):

Используем закон Гаусса, который выражается как:

\[ \oint_{\text{поверхность}} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0} \]

Здесь, \( \vec{E} \) — напряженность электрического поля, \( q_{\text{внутр}} \) — заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности. При \( r < R \) гауссова поверхность находится внутри первого цилиндра, и заключенный заряд равен нулю, так как заряд распределен только на самом цилиндре (не внутри). Следовательно, электрическое поле внутри внутреннего цилиндра:

\[ E = 0 \, \, \text{, для} \, r < R \]

2. Зона между цилиндрами (\( R \leq r < 2R \)):

Теперь рассмотрим область между цилиндрами. Для этой области гауссова поверхность представляет собой цилиндр радиуса \( r \) и длины \( l \), где \( R \leq r < 2R \). Заключенный заряд равен заряду внутреннего цилиндра, который можно записать как:

\[ q_{\text{внутр}} = -\sigma \cdot 2\pi R l \]

Напряженность электрического поля цилиндра с равномерным распределением заряда находится из закона Гаусса:

\[ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = E(r) \cdot 2\pi r l = \frac{q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0} \]

Подставляем заряд \( q_{\text{внутр}} \):

\[ E(r) \cdot 2\pi r l = \frac{-\sigma \cdot 2\pi R l}{\varepsilon_0} \]

Сокращаем одинаковые множители:

\[ E(r) = \frac{-\sigma R}{\varepsilon_0 r}, \, \, для \, R \leq r < 2R \]

3. Зона вне второго цилиндра (\( r \geq 2R \)):

Теперь рассмотрим область вне второго цилиндра. Гауссова поверхность теперь имеет радиус \( r \geq 2R \). Заключенный заряд — это сумма зарядов на обоих цилиндрах: \( -\sigma \) на внутреннем и \( \sigma \) на внешнем. Величины зарядов одинаковы по модулю, но противоположны по знаку:

\[ q_{\text{внутр}} = -\sigma \cdot 2\pi R l + \sigma \cdot 2\pi (2R) l = 0 \]

Таким образом, за пределами второго цилиндра суммарный заряд равен нулю, а напряженность электрического поля:

\[ E(r) = 0, \, \, для \, r \geq 2R \]

Итоговый результат:

• \( E = 0 \) для \( r < R \)
• \( E(r) = \frac{-\sigma R}{\varepsilon_0 r} \) для \( R \leq r < 2R \)
• \( E = 0 \) для \( r \geq 2R \)

График зависимости \( E(r) \):

1. При \( r < R \), поле равно нулю.

2. При \( R \leq r < 2R \), поле имеет отрицательное значение и обратно пропорционально \( r \) (график убывает).

3. При \( r \geq 2R \), поле снова равно нулю.

Таким образом, график будет иметь форму: сначала нулевая линия до \( r = R \), затем убывающая кривая между \( r = R \) и \( r = 2R \), и далее снова нулевая линия после \( r = 2R \).