Найти дисперсию (среднеквадратичное отклонение в квадрате) шумового сигнала, создаваемого резистором

Предмет: Физика
Раздел: Электроника / Теория электрических цепей / Шум в электрических цепях

Уточнение задачи:

Нам необходимо найти дисперсию (среднеквадратичное отклонение в квадрате) шумового сигнала, создаваемого резистором с сопротивлением [R = 10\, \text{кОм} = 10^4\, \Omega] при температуре [t = 20^\circ C], прошедшего через идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания [\delta f].

Результат нужен на выходе CR-цепи, но поскольку фильтр идеальный, и указано, что требуется найти дисперсию шума на выходе фильтра, то расчет сводится к классической формуле для теплового шума.

Теоретическая основа:

Тепловой (джонсоновский) шум резистора описывается следующей формулой для спектральной плотности мощности:

 [S_V(f) = 4 k_B T R] 

где:

• [k_B = 1.38 \times 10^{-23}\, \text{Дж/К}] — постоянная Больцмана,
• [T] — абсолютная температура в Кельвинах:
  [T = t + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15\, \text{K}],
• [R = 10^4\, \Omega] — сопротивление резистора.

Если шум проходит через идеальный ФНЧ с полосой [\delta f], то полная мощность шума (дисперсия напряжения) на выходе фильтра будет:

 [\sigma^2 = \int_0^{\delta f} S_V(f)\, df = S_V \cdot \delta f = 4 k_B T R \cdot \delta f] 

Подстановка чисел:

 \begin{align*} \sigma^2 &= 4 \cdot (1.38 \times 10^{-23}) \cdot 293.15 \cdot 10^4 \cdot \delta f \ &= (4 \cdot 1.38 \cdot 293.15 \cdot 10^4) \times 10^{-23} \cdot \delta f \ &\approx (1.618 \times 10^{-15}) \cdot \delta f \end{align*} 

Ответ:

Дисперсия шума на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания [\delta f] составляет:

 [\sigma^2 = 1.618 \times 10^{-15} \cdot \delta f\, \text{В}^2] 

где [\delta f] — в герцах (Гц).
Если известна конкретная полоса [\delta f], можно подставить и получить численное значение.