Вывести формулу для расчёта индукции магнитного поля на оси кругового витка с током

Предмет: Физика Раздел: Электромагнетизм, Магнитное поле

Задание:

Вывести формулу для расчёта индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.

Шаг 1. Исходные данные

Представим круговой виток радиуса \(R\), по которому течёт ток \(I\). Нужно найти магнитное поле (индукцию магнитного поля) на оси симметрии этого витка в некоторой точке, находящейся на расстоянии \(z\) от центра витка.

Для решения воспользуемся законом Био-Савара—Лапласа, который даёт нам магнитное поле, создаваемое малым элементом тока. Формула закона Био-Савара—Лапласа для магнитного поля, создаваемого элементом тока, имеет вид:

\[ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} \]

• \(d\mathbf{B}\) — элементарный вклад в магнитное поле от малого участка провода \(d\mathbf{l}\),
• \(\mu_0\) — магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{\frac{H}{m}}\)),
• \(I\) — ток в проводе,
• \(d\mathbf{l}\) — вектор, характеризующий направление малого участка проводника с током,
• \(\mathbf{r}\) — радиус-вектор от элемента тока до точки, в которой вычисляется магнитное поле,
• \(r = |\mathbf{r}|\) — расстояние от элемента провода до точки.

Шаг 2. Симметрия задачи

Дифференциальный элемент \(d\mathbf{l}\) кругового витка лежит в плоскости, перпендикулярной оси, и направлен по касательной к окружности. Точка, в которой мы хотим найти поле (на оси симметрии), лежит на расстоянии \(z\) над центром витка.

Благодаря симметрии задачи можно сразу утверждать, что все горизонтальные компоненты \(dB\), перпендикулярные оси \(z\), попарно сократятся, так как каждый элемент тока создаёт величину поля в противоположных направлениях от соответствующих точек на противоположной стороне витка. Поэтому остаётся учитывать только вертикальную составляющую магнитного поля вдоль оси \(z\).

Шаг 3. Расчёт вертикальной компоненты поля

Для малой частицы тока \(d\mathbf{l}\) выражение для вертикального компонента магнитного поля \(dB_z\) можно записать как:

\[ dB_z = dB \cdot \cos\theta \]

где \(\theta\) — угол между вектором, указывающим на точку расположения элементарного тока, и осью витка (оси \(z\)).

Через геометрические соотношения в задаче можно выразить \(\cos \theta\) через расстояния. В этом случае:

\[ \cos \theta = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \]

Теперь, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа для выражения \(dB\):

\[ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} \]

Поскольку \(d\mathbf{l}\) и \(\mathbf{r}\) взаимно перпендикулярны, \(\times\) превращается в умножение на величину \(d\mathbf{l} \cdot r\). В итоге:

\[ dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{l} R}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \]

Теперь добавляем вертикальную проекцию через \(\cos \theta = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\):

\[ dB_z = \frac{\mu_0 I z R \, d\mathbf{l}}{4\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} \]

Шаг 4. Интегрирование по контуру

Для нахождения общего магнитного поля \(B_z\) на оси \(z\), проинтегрируем по контуру витка (длина окружности \(2\pi R\)):

\[ B_z = \int dB_z = \frac{\mu_0 I z R}{4\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} \cdot \int dl = \frac{\mu_0 I z R}{4\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} \cdot 2\pi R \]

Упрощаем выражение:

\[ B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} \]

Ответ:

Итак, индукция магнитного поля \(B_z\), созданного круговым витком с током на оси симметрии витка, на расстоянии \(z\) от центра витка выражается формулой:

\[ B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} \]

• \(\mu_0\) — магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{\frac{H}{m}}\)),
• \(I\) — ток в витке,
• \(R\) — радиус витка,
• \(z\) — расстояние от центра витка до точки на оси, где мы ищем индукцию магнитного поля.

где: