Определить протяжённость области однородности, в которой магнитная индукция B изменяется не более чем на 10% от её максимальной величины

Предмет: Физика

Раздел: Электромагнетизм (Магнитное поле, Магнитные поля в соленоидах)

Постановка задачи:

Для магнитного соленоида необходимо определить протяжённость области однородности, в которой магнитная индукция \( B \) изменяется не более чем на 10% от её максимальной величины.

Шаг 1. Определение параметров магнитного поля в соленоиде

Магнитное поле внутри длинного соленоида приблизительно однородно. Индукция магнитного поля \( B \) внутри соленоида рассчитывается по формуле:

\[ B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot n \cdot I \]

Где:

• \( \mu_0 \) — магнитная проницаемость вакуума (\( 4 \pi \times 10^{-7} \, \text{Гн/м} \));
• \( \mu_r \) — относительная магнитная проницаемость среды;
• \( n \) — число витков на единицу длины соленоида (число витков на метр);
• \( I \) — сила тока, протекающего через проводник.

Максимальная магнитная индукция наблюдается в центре соленоида, вдали от его краёв.

Шаг 2. Описание неоднородности магнитного поля

Магнитное поле внутри соленоида начинает значительно ослабевать по мере приближения к концам соленоида. Это связано с тем, что линии магнитного поля стремятся "рассеиваться" на концах соленоида. Задача состоит в том, чтобы определить протяжённость области, в пределах которой магнитная индукция \( B \) сохраняется в пределах 90%-100% от её значения в центре соленоида.

Шаг 3. Подход к решению

Считается, что магнитная индукция внутри соленоида напрямую зависит от формы соленоида и расстояния до его концов. Для длинного соленоида при удалении от центра к краю магнитная индукция начинает уменьшаться. Для простоты можно использовать модель приближённых расчётов:

• В центре максимальное значение индукции равно \( B_{\text{max}} \).
• Мы ищем расстояния от центра соленоида, где индукция будет на уровне не менее 90% от \( B_{\text{max}} \).

Чтобы найти это расстояние, учтём, что электрическое и магнитное поле начинают ослабевать к краям полыми траекториями. Можно воспользоваться эмпирическими данными, которые показывают, что поле в центральной части длинного соленоида (его длина превышает диаметр витков на порядок) остаётся почти постоянным (меняется не больше, чем на 10%) на длине около \( 0.8L \), где \( L \) — общая длина соленоида.

Шаг 4. Вывод

Таким образом, область однородности, где магнитная индукция меняется не более чем на 10% от максимальной величины, составляет примерно:

\[ l_{\text{однородной области}} \approx 0.8L \]

Здесь \( L \) — полная длина соленоида.

Ответ:

Протяжённость области однородности составляет примерно 80% от длины соленоида.