Определить момент сил, действующих на кольцо

Предмет: Физика
Раздел: Электромагнетизм (Магнитное поле и силы Ампера)

Условие задачи:

Проводящее кольцо радиусом R = 5 \, \text{см}, по которому течет ток I = 2{,}2 \, \text{А}, согнули по диаметру под прямым углом. Кольцо поместили в однородное магнитное поле с индукцией B = 0{,}2 \, \text{Тл}. Вектор индукции перпендикулярен линии сгиба и направлен под углом \alpha = 20^\circ к одной из плоскостей кольца. Определить момент сил, действующих на кольцо.

Решение:

1. Площадь каждой половины кольца

Кольцо согнуто по диаметру под прямым углом, поэтому оно образует две перпендикулярные плоскости, каждая из которых представляет собой половину полного круга. Площадь одной половины круга равна:

 S = \frac{\pi R^2}{2}. 

Подставим значение радиуса R = 5 \, \text{см} = 0{,}05 \, \text{м}:

 S = \frac{\pi (0{,}05)^2}{2} = \frac{\pi \cdot 0{,}0025}{2} = 0{,}00393 \, \text{м}^2. 

2. Магнитный момент кольца

Магнитный момент для контура с током определяется как:

 \vec{m} = I \cdot \vec{S}, 

где I — ток, а \vec{S} — вектор площади. Для двух перпендикулярных половин кольца результирующий магнитный момент равен векторной сумме магнитных моментов каждой половины. Так как половины перпендикулярны, их магнитные моменты складываются по теореме Пифагора:

 m = \sqrt{m_1^2 + m_2^2} = \sqrt{(I \cdot S)^2 + (I \cdot S)^2} = \sqrt{2} \cdot (I \cdot S). 

Подставим значения:

 m = \sqrt{2} \cdot (2{,}2 \cdot 0{,}00393) \approx 0{,}0122 \, \text{А·м}^2. 

3. Момент сил в магнитном поле

Момент сил в магнитном поле определяется как:

 \vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}, 

где \vec{m} — магнитный момент, а \vec{B} — вектор магнитной индукции. Модуль момента сил равен:

 M = m \cdot B \cdot \sin \alpha. 

Подставим значения m = 0{,}0122 \, \text{А·м}^2, B = 0{,}2 \, \text{Тл}, \alpha = 20^\circ:

 M = 0{,}0122 \cdot 0{,}2 \cdot \sin 20^\circ. 

Значение \sin 20^\circ \approx 0{,}342. Тогда:

 M = 0{,}0122 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}342 \approx 0{,}000834 \, \text{Н·м}. 

Ответ:

Момент сил, действующих на кольцо, равен M \approx 0{,}00083 \, \text{Н·м}.