Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата

Предмет: Физика

Раздел предмета: Электромагнетизм (Магнитные поля проводников с током)

Задание:

Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата, если через вершины квадрата проходят четыре проводника с одинаковыми токами, три из которых текут в одном направлении, а четвертый в противоположном.

Дано:

• четырехпроводниковая система в форме квадрата со стороной \( a = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м} \),
• сила тока через каждый проводник \( I = 10 \text{ А} \),
• три проводника — с током в одном направлении, четвертый — с током в противоположном.

Необходимо найти:

магнитную индукцию \( B \) в центре квадрата.

Шаг 1: Используем закон Био-Савара-Лапласа

Для расчета индукции магнитного поля от прямого проводника с током на расстоянии \( r \) от проводника используется закон Био-Савара. Для бесконечно длинного прямого проводника:

\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]

где:

• \( B \) — магнитная индукция,
• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Н} / \text{А}^2 \) — магнитная постоянная,
• \( I \) — сила тока в проводнике,
• \( r \) — расстояние от проводника до точки, где рассчитывается индукция (в данном случае — расстояние от вершины квадрата до его центра).

Шаг 2: Рассчитаем расстояние от проводника до центра квадрата

Поскольку проводники находятся на вершинах квадрата, нужно рассчитать расстояние от вершины квадрата до его центра. Это расстояние — половина диагонали квадрата. Длина диагонали квадрата может быть найдена по формуле:

\[ d_{\text{диагональ}} = a \sqrt{2} \]

где \( a \) — длина стороны квадрата. Подставляем \( a = 0.5 \text{ м} \):

\[ d_{\text{диагональ}} = 0.5 \sqrt{2} \approx 0.707 \text{ м} \]

Теперь разделим это значение на 2, чтобы получить расстояние от вершины квадрата до его центра:

\[ r_{\text{центр}} = \frac{0.707}{2} \approx 0.3535 \text{ м} \]

Шаг 3: Рассчитаем магнитную индукцию для одного проводника

Используем формулу из шага 1 для расчета магнитной индукции одного проводника:

\[ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_{\text{центр}}} \]

Подставляем значения \( \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ Н}/\text{А}^2 \), \( I = 10 \text{ А} \), \( r_{\text{центр}} = 0.3535 \text{ м} \):

\[ B_1 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{2 \pi \times 0.3535} \approx 5.65 \times 10^{-6} \text{ Тл} \]

Это магнитная индукция от одного проводника в центре квадрата.

Шаг 4: Определим направление магнитных полей

Теперь обратимся к направлению токов и индукции. Направление магнитного поля от проводника с током можно определить по правилу правой руки: если обхватить проводник вектором тока, то большие пальцы покажут направление тока, а направление обхвата пальцев — направление магнитного поля. В нашем случае три проводника создают поле в одну сторону, а четвертый (с противоположным током) в другую, поэтому магнитные поля частично компенсируются.

Шаг 5: Сложение вкладов от всех проводников

Учитывая симметрию задачи и то, что три из четырех токов направлены в одну сторону, а один в противоположную, общее магнитное поле в центре может быть найдено как векторная сумма полей. Поля трех проводников будут направлены в одну сторону, а поле четвертого, направленного в противоположном направлении, будет вычитаться.

Магнитная индукция от трех проводников:

\[ B_{\text{сумма}} = 3B_1 - B_1 = 2B_1 \]

Теперь подставим значение \( B_1 = 5.65 \times 10^{-6} \text{ Тл} \):

\[ B_{\text{сумма}} = 2 \times 5.65 \times 10^{-6} = 1.13 \times 10^{-5} \text{ Тл} \]

Ответ:

Магнитная индукция в центре квадрата составляет:

\[ B = 1.13 \times 10^{-5} \, \text{Тл} = 11.3 \, \mu\text{Тл}. \]