Определить эдс индукции в рамке в момент времени 5 секунд

Давайте разберемся с данным заданием.

Определение предмета и раздела:

Решение:

ЭДС индукции (\(\mathcal{E}\)) в замкнутом контуре возникает из-за изменения магнитного потока (\(\Phi_B\)) через контур. Закон Фарадея для ЭДС индукции записывается как:

\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]

Шаг 1: Выражение магнитного потока

Магнитный поток через рамку определяется как:

\[ \Phi_B = B \cdot S \cdot \cos\theta \]

где:

• \(B = B_0 \sin(\omega t)\) — индукция магнитного поля, зависящая от времени (по условию).
• \(S = a^2\) — площадь рамки (площадь квадрата со стороной \(a\)).
• \(\theta = 45^\circ\) — угол между нормалью к площади рамки и вектором магнитного поля.

Таким образом,

\[ \Phi_B = B_0 \sin(\omega t) \cdot a^2 \cdot \cos(45^\circ) \]

Значение \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда:

\[ \Phi_B = B_0 \sin(\omega t) \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 2: Подставим числовые значения

По условию:

• \(B_0 = 0,17 \, \text{Тл}\),
• \(\omega = 5 \, \text{рад/с}\),
• \(a = 23 \, \text{см} = 0,23 \, \text{м}\).

Площадь рамки:

\[ S = a^2 = (0,23)^2 = 0,0529 \, \text{м}^2 \]

Тогда магнитный поток:

\[ \Phi_B = 0,17 \sin(5t) \cdot 0,0529 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим:

\[ \Phi_B = 0,017902 \cdot \sin(5t) \, \text{(в единицах Вб)}. \]

Шаг 3: Найдем ЭДС индукции

ЭДС \(\mathcal{E}\) определяется как производная магнитного потока по времени:

\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \]

Возьмем производную:

\[ \Phi_B = 0,017902 \cdot \sin(5t) \]

Производная \(\sin(5t)\) равна \(5 \cdot \cos(5t)\). Тогда:

\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -0,017902 \cdot 5 \cdot \cos(5t) \]

Упростим:

\[ \mathcal{E} = -0,08951 \cdot \cos(5t) \, \text{(в единицах В)}. \]

Шаг 4: Подставим \(t = 5 \, \text{с}\)

Найдем значение \(\mathcal{E}\) в момент времени \(t = 5 \, \text{с}\). Сначала найдем значение \(\cos(5t)\), когда \(t = 5 \, \text{с}\):

\[ \cos(5t) = \cos(25 \, \text{рад}) \]

Углы в радианах можно свернуть, так как косинус имеет период \(2\pi\). Вычислим:

\[ 25 \, \text{рад} = 25 - 4 \cdot 2\pi \approx 25 - 25,13 \approx -0,13 \, \text{рад}. \]

Теперь найдем \(\cos(-0,13) \approx 0,991\) (косинус чётная функция). Подставим:

\[ \mathcal{E} = -0,08951 \cdot 0,991 \approx -0,0888 \, \text{В}. \]

Итоговый результат:

ЭДС индукции в проводящей рамке в момент времени \(t = 5 \, \text{с}\) равна:

\[ \mathcal{E} \approx -0,0888 \, \text{В}. \]

Знак минус указывает на направление индукционного тока согласно правилу Ленца.