Найти максимальное напряжение допустимое на источнике

Предмет: Физика

Раздел: Электричество и магнетизм, Конденсаторы

В этом задании рассматривается цепь с последовательно соединёнными конденсаторами и важен вопрос о том, какое максимальное напряжение можно приложить к источнику, чтобы не повредить конденсаторы.

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов для расчета их общей эквивалентной ёмкости применяется следующая формула:

\[\frac{1}{C_\text{экв}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\]

Где:

• \(C_1\) и \(C_2\) — ёмкости конденсаторов;
• \(C_\text{экв}\) — эквивалентная ёмкость цепи.

Подставим значения из условия задачи:

\[C_1 = 10{,}7 \, \text{нФ}, \quad C_2 = 0{,}7 \, \text{нФ}\]

Переведём значения в единицы системы СИ — фарады:

\[C_1 = 10{,}7 \times 10^{-9} \, \text{Ф}, \quad C_2 = 0{,}7 \times 10^{-9} \, \text{Ф}\]

Теперь найдём эквивалентную ёмкость:

\[\frac{1}{C_\text{экв}} = \frac{1}{10{,}7 \times 10^{-9}} + \frac{1}{0{,}7 \times 10^{-9}}\]

\[= \frac{1}{10{,}7} \times 10^9 + \frac{1}{0{,}7} \times 10^9 = 93{,}46 \times 10^6 + 1{,}42857 \times 10^9\]

Сложим:

\[\frac{1}{C_\text{экв}} = 1{,}522 \times 10^9\]

Теперь найдём эквивалентную ёмкость \(C_\text{экв}\):

\[C_\text{экв} = \frac{1}{1{,}522 \times 10^9} \approx 0{,}657 \times 10^{-9} \, \text{Ф} = 0{,}657 \, \text{нФ}\]

Эквивалентная ёмкость \(C_\text{экв} = 0{,}657 \, \text{нФ}\).

Максимальные напряжения

Поскольку конденсаторы подключены последовательно, напряжение на каждом из них может быть разным, но важно, чтобы оно не превышало максимального значения для любого из конденсаторов, равного 1382 В по условию задачи.

При последовательном соединении суммарное напряжение распределяется на них пропорционально их ёмкостям. Большая ёмкость будет иметь меньшее напряжение, и наоборот, но общее напряжение \(U_\text{общ}\) — это сумма напряжений на каждом конденсаторе.

Найдём напряжение на каждом конденсаторе через закон для последовательного соединения:

\[U_1 = U_\text{общ} \times \frac{C_2}{C_1 + C_2}, \quad U_2 = U_\text{общ} \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}\]

Для того чтобы найти максимальное напряжение \(U_\text{общ}\), нужно учесть, что максимальное напряжение на любом из конденсаторов (либо \(U_1\), либо \(U_2\)) не должно превышать их предела: \(U_1 \leq 1382 \, \text{В}\) и \(U_2 \leq 1382 \, \text{В}\).

Поскольку общее напряжение распределяется, большее напряжение будет на конденсаторе меньшей ёмкости (то есть на \(C_2\)). Значит, расчет максимального напряжения будем проводить исходя из \(C_2\), чтобы на нём напряжение было точно не больше 1382 В.

\[U_2 = U_\text{общ} \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}\]

Подставим всё известное в это уравнение:

\[1382 = U_\text{общ} \times \frac{10{,}7}{10{,}7 + 0{,}7}\]

\[1382 = U_\text{общ} \times \frac{10{,}7}{11{,}4}\]

\[U_\text{общ} = 1382 \times \frac{11{,}4}{10{,}7} \approx 1473 \, \text{В}\]

Ответ:

Максимальное напряжение, допустимое на источнике, составляет 1473 В.