Найти магнитную индукцию B в точке, которая находится на расстояниях от первого провода с током и от второго провода с током

Предмет: Физика

Раздел: Электромагнетизм, тема "Магнитное поле проводов с током"

Анализ задачи:

Имеем два параллельных бесконечных провода, по которым текут токи \( I_1 \) и \( I_2 \) в противоположных направлениях. В задаче нужно найти магнитную индукцию \( B \) в точке, которая находится на расстояниях \( r_1 \) от первого провода с током \( I_1 \) и \( r_2 \) от второго провода с током \( I_2 \). Есть известная величина \( B_0 \) — магнитная индукция на расстоянии \( d/2 \) от обоих проводов, то есть в точке, находящейся на одинаковом удалении от обоих проводов.

Шаг 1: Формула магнитной индукции от длинного прямого проводника с током

По закону Био-Савара магнитная индукция, созданная длинным прямым проводом с током \( I \) на расстоянии \( r \) от него, выражается формулой:

\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \] где:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн}/\text{м} \) — магнитная постоянная,
• \( I \) — ток в проводе,
• \( r \) — расстояние до провода.

Токи в проводах направлены противоположно, поэтому магнитные поля суммируются по модулю с учетом направлений.

Шаг 2: Магнитное поле в точке на одинаковом расстоянии \( d/2 \) от обоих проводов

На расстоянии \( d/2 \) магнитные поля от двух проводов можно вычислить и сложить:

\[ B_0 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi \cdot (d/2)} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi \cdot (d/2)} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{2(I_1 + I_2)}{d} \]

Отсюда можно выразить \( d \):

\[ B_0 = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{\pi d} \]

\[ d = \frac{\mu_0 (I_1 + I_2)}{\pi B_0} \]

Шаг 3: Магнитное поле в интересующей точке

Теперь нужно найти магнитную индукцию \( B \) в точке, находящейся на расстояниях \( r_1 \) и \( r_2 \) от проводов с токами \( I_1 \) и \( I_2 \) соответственно. В этой точке магнитные индукции также складываются, но с учетом того, что они имеют противоположные направления:

\[ B = \left| \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} - \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} \right| \]

Шаг 4: Подстановка известных значений и вычисления

Подставим известные значения:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн}/\text{м} \),
• \( I_1 = 4,1 \, \text{А} \),
• \( I_2 = 7,9 \, \text{А} \),
• \( r_1 = 0,21 \, \text{м} \),
• \( r_2 = 0,17 \, \text{м} \),
• \( B_0 = 1,41 \times 10^{-5} \, \text{Тл} \).

1. Найдём \( d \) из выражения для \( B_0 \):

\[ d = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot (4,1 + 7,9)}{\pi \cdot 1,41 \times 10^{-5}} = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 12}{1,41 \times 10^{-5}} \approx 0,034 \, \text{м}. \]

2. Теперь подставим значения в формулу для \( B \):

\[ B = \left| \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 4,1}{2\pi \cdot 0,21} - \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 7,9}{2\pi \cdot 0,17} \right| \]

Упростим выражение:

\[ B = \left| \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 4,1}{0,21} - \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 7,9}{0,17} \right| \]

Вычислим каждое слагаемое:

\[ B_1 = \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 4,1}{0,21} \approx 3,90 \times 10^{-6} \, \text{Тл}, \]

\[ B_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 7,9}{0,17} \approx 9,29 \times 10^{-6} \, \text{Тл}. \]

3. Найдём разницу:

\[ B = \left| 3,90 \times 10^{-6} - 9,29 \times 10^{-6} \right| = \left| -5,39 \times 10^{-6} \right| = 5,39 \times 10^{-6} \, \text{Тл}. \]

Ответ:

\[ B \approx 5,39 \times 10^{-6} \, \text{Тл}. \]