Найти: Индуктивность катушки L

Предмет: Физика
Раздел: Электромагнетизм, индуктивность катушки

Дано:
Радиус катушки r = 2 \text{ см} = 0{,}02 \text{ м}
Число витков N = 500
Сила тока I = 2 \text{ А}
Напряженность магнитного поля в центре катушки H = 10 \text{ кА/м} = 10\,000 \text{ А/м}

Найти:
Индуктивность катушки L

Решение:

1. Напряженность магнитного поля в центре катушки с N витками и током I связана с магнитной индукцией B и индуктивностью через формулы:

   Напряженность магнитного поля H связана с магнитной индукцией B через магнитную проницаемость среды \mu:

   B = \mu H

   В вакууме/воздухе \mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ Гн/м}.

2. Магнитный поток \Phi через один виток равен:

   \Phi = B \cdot S, где S — площадь поперечного сечения катушки.

   Площадь круга:

   S = \pi r^2 = \pi \times (0{,}02)^2 = \pi \times 4 \times 10^{-4} = 1{,}2566 \times 10^{-3} \text{ м}^2

3. Полный магнитный поток через все витки:

   \Phi_{\text{total}} = N \times \Phi = N B S

4. Индуктивность катушки определяется как:

   L = \frac{\Phi_{\text{total}}}{I} = \frac{N B S}{I}

5. Подставим B = \mu_0 H:

   L = \frac{N \mu_0 H S}{I}

6. Подставим численные значения:

    \begin{aligned} L &= \frac{500 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 10\,000 \times 1{,}2566 \times 10^{-3}}{2} \ &= \frac{500 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^4 \times 1{,}2566 \times 10^{-3}}{2} \ &= \frac{500 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^4 \times 1{,}2566 \times 10^{-3}}{2} \end{aligned} 

Выполним вычисления поэтапно:

• 4\pi \approx 12{,}566

• 4\pi \times 10^{-7} = 12{,}566 \times 10^{-7} = 1{,}2566 \times 10^{-6}

• 1{,}2566 \times 10^{-6} \times 10^4 = 1{,}2566 \times 10^{-2}

• Теперь:

   L = \frac{500 \times 1{,}2566 \times 10^{-2} \times 1{,}2566 \times 10^{-3}}{2} \end{formula> - Умножим 1,2566 на 1,2566: 1{,}2566 \times 1{,}2566 \approx 1{,}579

• Тогда:

   L = \frac{500 \times 1{,}579 \times 10^{-5}}{2} = \frac{500 \times 1{,}579 \times 10^{-5}}{2} 

• Умножим 500 на 1,579:

  500 \times 1{,}579 = 789,5

• Делим на 2:

  L = \frac{789,5 \times 10^{-5}}{2} = 394,75 \times 10^{-5} = 3,9475 \times 10^{-3} \text{ Гн}

Ответ:

Индуктивность катушки равна примерно L \approx 3{,}95 \text{ мГн} (миллигенри).

Итог:

 \begin{cases} r = 0{,}02 \text{ м} \ N = 500 \ I = 2 \text{ А} \ H = 10\,000 \text{ А/м} \ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ Гн/м} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{N \mu_0 H \pi r^2}{I} \approx 3{,}95 \text{ мГн} \end{cases}