Найдите магнитную индукцию в точках

Предмет: Физика
Раздел: Электромагнетизм, Магнитное поле тока (закон Био-Савара, закон Ампера)

Условие задачи

Имеется длинный провод, согнутый под прямым углом (на 90°), по которому течёт ток I = 3\,\text{А}. Требуется найти магнитную индукцию B в точке, лежащей на расстоянии b = 5\,\text{см} = 0{,}05\,\text{м} от вершины угла (места сгиба провода), на перпендикуляре, восстановленном к плоскости провода.

Анализ задачи

Провод состоит из двух бесконечно длинных прямых участков, соединённых под углом 90°. Точка, в которой нужно найти магнитную индукцию, лежит на оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежат оба проводника. Это классическая задача на применение закона Био-Савара.

Теория

Магнитная индукция \vec{B} от бесконечно длинного прямого тока в точке, находящейся на расстоянии r от него, определяется по формуле:

 B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot 2 \sin\theta 

где:

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\, \text{Гн/м} — магнитная постоянная,
• I — сила тока,
• r — расстояние от точки до провода,
• \theta — угол между направлением провода и линией, соединяющей точку наблюдения с концом провода.

В случае, если провод бесконечно длинный, то \theta = 90^\circ, и тогда:

 B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} 

Но у нас не бесконечный провод, а два полубесконечных проводника, соединённых под прямым углом. Для такого случая можно воспользоваться результатом интегрирования закона Био-Савара для тока в виде угла \phi:

 B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot \phi 

где \phi — угол между двумя участками провода в радианах.

Решение

Угол между двумя участками провода:
\phi = \frac{\pi}{2} (так как 90° = π/2 радиан)

Расстояние от точки наблюдения до вершины угла:
r = b = 0{,}05\,\text{м}

Подставим в формулу:

 B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \cdot \phi 

Подставим значения:

 B = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7}) \cdot 3}{4\pi \cdot 0{,}05} \cdot \frac{\pi}{2} 

Сократим 4\pi:

 B = \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}05} \cdot \frac{\pi}{2} 

Вычислим:

 \frac{3 \cdot 10^{-7}}{0{,}05} = 6 \cdot 10^{-6} 

Тогда:

 B = 6 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{\pi}{2} \approx 6 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}57 \approx 9{,}42 \cdot 10^{-6}\, \text{Тл} 

Ответ:

B \approx 9{,}4 \cdot 10^{-6}\, \text{Тл} (тесла)

Магнитная индукция в заданной точке составляет примерно 9{,}4 \cdot 10^{-6}\, \text{Тл}.