Какую работу необходимо совершить силам электростатического поля, создаваемого заряженным шаром радиусом 3 см с объемной плотностью заряда 30 нКл/м³, по перемещению точечного заряда 5 нКл из точки, находящейся на расстоянии 5 см о центра шара, в точку на расстоянии 10 см от центра

Предмет: Физика

Раздел: Электростатика

Задание: Вычислить работу, необходимую для перемещения точечного заряда в электростатическом поле заряженного шара.

Дано:

• Радиус заряженного шара \( R = 3 \) см = 0,03 м (переводим в метры).
• Объемная плотность заряда \( \rho = 30 \) нКл/м³ = \( 30 \cdot 10^{-9} \) Кл/м³.
• Точечный заряд \( q_0 = 5 \) нКл = \( 5 \cdot 10^{-9} \) Кл.
• Начальное расстояние \( r_1 = 5 \) см = 0,05 м (переводим в метры).
• Конечное расстояние \( r_2 = 10 \) см = 0,1 м (переводим в метры).

Работа электростатического поля при перемещении заряда из точки \( r_1 \) в точку \( r_2 \) определяется как разность потенциальных энергий в этих точках:

\[ W = q_0 (\varphi(r_1) - \varphi(r_2)) \] где \(\varphi(r)\) — электрический потенциал на расстоянии \( r \) от центра шара.

Шаги для решения задачи:

1. Найти заряд шара \( Q \):

   \[ Q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]

2. Найти потенциал в точках \( r_1 \) и \( r_2 \) для двух различных точек внутри и вне шара:
• Для \( r > R \) потенциал как точечного заряда:

  \[ \varphi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r} \]

• Для \( r < R \) потенциал внутри шара:

  \[ \varphi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \left(\frac{Q}{R} - \frac{Q}{2R^3}r^2\right) \]

3. Рассчитать работу:
• Шаг 1:

  \[ Q = 30 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{4}{3} \pi (0,03)^3 \approx 3.39 \cdot 10^{-14} \text{ Кл} \]

• Шаг 2: Найти потенциалы:
• Для \( r_1 = 0.05 \) м (вне шара):

  \[ \varphi(0.05) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{0.05} \]

• Для \( r_2 = 0.1 \) м (вне шара):

  \[ \varphi(0.1) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{0.1} \]

С учётом \( k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \approx 8.99 \cdot 10^9 \text{ Н·м}^2/\text{Кл}^2 \):

\[ \varphi(0.05) = 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{3.39 \cdot 10^{-14}}{0.05} \approx 6.09 \cdot 10^{-4} \text{ В} \]

\[ \varphi(0.1) = 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{3.39 \cdot 10^{-14}}{0.1} \approx 3.04 \cdot 10^{-4} \text{ В} \]

• Шаг 3: Найти работу:

  \[ W = q_0 (\varphi(r_1) - \varphi(r_2)) \]

  \[ W = 5 \cdot 10^{-9} \cdot (6.09 \cdot 10^{-4} - 3.04 \cdot 10^{-4}) \approx 1.53 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} \]

Ответ: Работа, необходимая для перемещения точечного заряда 5 нКл из точки на расстоянии 5 см от центра шара в точку на расстоянии 10 см от центра, составляет приблизительно \( 1.53 \cdot 10^{-12} \) Дж.