Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ, движется воднородном магнитном поле с индукцией B по окружности радиусом R = 1 см. Определитьотношение заряда частицы к ее массе и скорость v частицы. Сделайте чертёж или рисунок

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика и движение зарядов в магнитных полях

Задание:

Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов \(U = 2 \text{ кВ}\), движется в однородном магнитном поле с индукцией \(B\) по окружности радиусом \(R = 1 \text{ см}\). Определить отношение заряда частицы к её массе и скорость \(v\) частицы.

Решение:

Для решения задачи нужно использовать закон сохранения энергии и закон Лоренца для движения заряженной частицы в магнитном поле.

1. Потенциальная энергия и кинетическая энергия

Когда заряженная частица ускоряется в электростатическом поле с разностью потенциалов \(U\), она приобретает кинетическую энергию:

\[ eU = \frac{mv^2}{2} \]

где \( e \) — заряд частицы, \( m \) — масса частицы, \( v \) — скорость частицы. Перепишем это уравнение для скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} \]

2. Сила Лоренца и движение по окружности

Когда частица движется с постоянной скоростью \(v\) перпендикулярно вектору магнитной индукции \(B\), на неё действует сила Лоренца, которая направлена перпендикулярно к скорости:

\[ F = evB \]

Эта сила действует как центростремительная сила для движения по окружности:

\[ evB = \frac{mv^2}{R} \]

где \( R \) — радиус окружности. Выразим отношение заряда к массе \( \frac{e}{m} \):

\[ evB = \frac{mv^2}{R} \implies eB = \frac{mv}{R} \implies \frac{e}{m} = \frac{v}{BR} \]

3. Подставим выражение для скорости

Теперь подставим \( v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} \) в выражение \( \frac{e}{m} = \frac{v}{BR} \):

\[ \frac{e}{m} = \frac{\sqrt{\frac{2eU}{m}}}{BR} \]

Упростим это выражение:

\[ \left(\frac{e}{m}\right)^2 = \frac{2eU}{mBR^2} \implies \frac{e}{m} = \sqrt{\frac{2U}{B^2 R^2}} \]

4. Определим отношение заряда к массе

Подставим числовые значения: Разность потенциалов \( U = 2 \text{ кВ} = 2000 \text{ В} \) Радиус окружности \( R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} \) Магнитная индукция \( B \) Отношение заряда к массе зависит только от этих данных, нам не хватает значения \( B \), магнитной индукции. Но формула для \( \frac{e}{m} \) становится:

\[ \frac{e}{m} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2000}{B^2 \cdot (0.01)^2}} = \sqrt{\frac{400000}{B^2}} = \frac{20000}{B} \]

где \( B \) в Теслах (Т).

5. Определение скорости

Теперь подставим это значение в выражение для скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \left(\frac{20000}{B}\right) \cdot 2000}{1}} = \sqrt{\frac{80000000}{B}} \]

И соответственно, \( v = 2828.43 \sqrt{\frac{1}{B}} \).

Для завершения задачи нам нужно значение индукции \( B \), без него ответ не может быть числовым.

Рисунок

(перпендикулярная плоскость движения)
      V
>>>>>>
     \   \
     |    \
     |    B
_______\__________
(магнитное поле внутрь листа)
     \   \