Вычислить неизвестную диэлектрическую проницаемость, используя заданные параметры

Данное задание относится к разделу электричества и электродинамики, конкретно к теме емкости конденсаторов.

Условие задачи:

Нам дан плоский конденсатор, полностью заполненный двумя последовательно расположенными диэлектрическими слоями с толщинами $\text{(}{d}_1\text{)}$ и $\text{(}{d}_2\text{)}$ и диэлектрическими проницаемостями $\text{(}{\epsilon }_1\text{)}$ и $\text{(}{\epsilon }_2\text{)}$. Необходимо вычислить неизвестную диэлектрическую проницаемость $\text{(}{\epsilon }_1\text{)}$, используя заданные параметры:

• $\text{(}{d}_1=1,5\text{мм}=1,5\times {10}^{-3}\text{м}\text{)}$,
• $\text{(}{d}_2=5,2\text{мм}=5,2\times {10}^{-3}\text{м}\text{)}$,
• $\text{(}{\epsilon }_2=2,1\text{)}$,
• $\text{(}S=35{\text{см}}^2=35\times {10}^{-4}{\text{м}}^2\text{)}$,
• $\text{(}U=320\text{В}\text{)}$,
• $\text{(}W=55\mu \text{Дж}=55\times {10}^{-6}\text{Дж}\text{)}$.

Решение:

1. Связь энергии и емкости конденсатора

Энергия конденсатора $\text{(}W\text{)}$ связана с его емкостью $\text{(}C\text{)}$ и напряжением $\text{(}U\text{)}$ формулой:

$\text{[}W=\frac{C{U}^2}{2}.\text{]}$

Отсюда находим емкость $\text{(}C\text{)}$:

$\text{[}C=\frac{2W}{U^2}.\text{]}$

Подставим значения $\text{(}W=55\times {10}^{-6}\text{Дж}\text{)}$ и $\text{(}U=320\text{В}\text{)}$:

$\text{[}C=\frac{2\times 55\times {10}^{-6}}{(320{)}^2}=\frac{110\times {10}^{-6}}{102400}\approx 1,074\times {10}^{-9}\text{Ф}.\text{]}$

2. Общая емкость конденсатора

Поскольку конденсатор заполнен двумя диэлектриками, его емкость можно представить как последовательное соединение двух конденсаторов: $\text{(}{C}_1\text{)}$, соответствующего слою с диэлектрической проницаемостью $\text{(}{\epsilon }_1\text{)}$, и $\text{(}{C}_2\text{)}$, соответствующего слою с диэлектрической проницаемостью $\text{(}{\epsilon }_2\text{)}$:

$\text{[}\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.\text{]}$

Емкость каждого слоя вычисляется по формуле:

$\text{[}{C}_i={\epsilon }_i{\epsilon }_0\frac{S}{d_i},\text{]}$

где $\text{(}{\epsilon }_0=8,85\times {10}^{-12}\text{Ф/м}\text{)}$ — электрическая постоянная. Для $\text{(}{C}_1\text{)}$ (для слоя толщиной $\text{(}{d}_1\text{)}$ и проницаемостью $\text{(}{\epsilon }_1\text{)}$) и $\text{(}{C}_2\text{)}$ (для слоя толщиной $\text{(}{d}_2\text{)}$ и проницаемостью $\text{(}{\epsilon }_2\text{)}$):

$\text{[}{C}_1={\epsilon }_1{\epsilon }_0\frac{S}{d_1},C_2={\epsilon }_2{\epsilon }_0\frac{S}{d_2}.\text{]}$

Подставляем эти выражения в формулу для последовательного соединения:

$\text{[}\frac{1}{C}=\frac{d_1}{{\epsilon }_1{\epsilon }_{0}S}+\frac{d_2}{{\epsilon }_2{\epsilon }_{0}S}.\text{]}$

Умножим обе части на $\text{(}{\epsilon }_{0}S\text{)}$, чтобы упростить выражение:

$\text{[}\frac{{\epsilon }_{0}S}{C}=\frac{d_1}{{\epsilon }_1}+\frac{d_2}{{\epsilon }_2}.\text{]}$

Подставим выражение для $\text{(}C\text{)}$ и известные значения:

$\text{[}\frac{(8,85\times {10}^{-12})\times (35\times {10}^{-4})}{1,074\times {10}^{-9}}=\frac{1,5\times {10}^{-3}}{{\epsilon }_1}+\frac{5,2\times {10}^{-3}}{2,1}.\text{]}$

Вычислим левую часть:

$\text{[}\frac{(8,85\times {10}^{-12})\times (35\times {10}^{-4})}{1,074\times {10}^{-9}}\approx \mathrm{2,886}\times {10}^{-2}.\text{]}$

Теперь решим уравнение:

$\text{[}\mathrm{0,028}86=\frac{1,5\times {10}^{-3}}{{\epsilon }_1}+\frac{5,2\times {10}^{-3}}{2,1}.\text{]}$

Вычислим второе слагаемое:

$\text{[}\frac{5,2\times {10}^{-3}}{2,1}\approx \mathrm{2,476}\times {10}^{-3}.\text{]}$

Теперь подставим это значение:

$\text{[}\mathrm{0,028}86=\frac{1,5\times {10}^{-3}}{{\epsilon }_1}+\mathrm{0,002}476.\text{]}$

Вычтем $\text{(}\mathrm{0,002}476\text{)}$ из $\text{(}\mathrm{0,028}86\text{)}$:

$\text{[}\mathrm{0,028}86-\mathrm{0,002}476\approx \mathrm{0,026}384=\frac{1,5\times {10}^{-3}}{{\epsilon }_1}.\text{]}$

Теперь найдем $\text{(}{\epsilon }_1\text{)}$:

$\text{[}{\epsilon }_1=\frac{1,5\times {10}^{-3}}{\mathrm{0,026}384}\approx \mathrm{0,056}87.\text{]}$

Ответ:

Диэлектрическая проницаемость первого слоя $\text{(}{\epsilon }_1\approx \mathrm{0,057}\text{)}$.