Вычислить неизвестную диэлектрическую проницаемость, используя заданные параметры

Данное задание относится к разделу электричества и электродинамики, конкретно к теме емкости конденсаторов.

Условие задачи:

Нам дан плоский конденсатор, полностью заполненный двумя последовательно расположенными диэлектрическими слоями с толщинами \(d_1\) и \(d_2\) и диэлектрическими проницаемостями \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\). Необходимо вычислить неизвестную диэлектрическую проницаемость \(\varepsilon_1\), используя заданные параметры:

• \(d_1 = 1{,}5 \ \text{мм} = 1,5 \times 10^{-3} \ \text{м}\),
• \(d_2 = 5{,}2 \ \text{мм} = 5,2 \times 10^{-3} \ \text{м}\),
• \(\varepsilon_2 = 2{,}1\),
• \(S = 35 \ \text{см}^2 = 35 \times 10^{-4} \ \text{м}^2\),
• \(U = 320 \ \text{В}\),
• \(W = 55 \ \mu\text{Дж} = 55 \times 10^{-6} \ \text{Дж}\).

Решение:

1. Связь энергии и емкости конденсатора

Энергия конденсатора \(W\) связана с его емкостью \(C\) и напряжением \(U\) формулой:

\[ W = \frac{C U^2}{2}. \]

Отсюда находим емкость \(C\):

\[ C = \frac{2W}{U^2}. \]

Подставим значения \(W = 55 \times 10^{-6} \ \text{Дж}\) и \(U = 320 \ \text{В}\):

\[ C = \frac{2 \times 55 \times 10^{-6}}{(320)^2} = \frac{110 \times 10^{-6}}{102400} \approx 1,074 \times 10^{-9} \ \text{Ф}. \]

2. Общая емкость конденсатора

Поскольку конденсатор заполнен двумя диэлектриками, его емкость можно представить как последовательное соединение двух конденсаторов: \(C_1\), соответствующего слою с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_1\), и \(C_2\), соответствующего слою с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_2\):

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}. \]

Емкость каждого слоя вычисляется по формуле:

\[ C_i = \varepsilon_i \varepsilon_0 \frac{S}{d_i}, \]

где \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{Ф/м}\) — электрическая постоянная. Для \(C_1\) (для слоя толщиной \(d_1\) и проницаемостью \(\varepsilon_1\)) и \(C_2\) (для слоя толщиной \(d_2\) и проницаемостью \(\varepsilon_2\)):

\[ C_1 = \varepsilon_1 \varepsilon_0 \frac{S}{d_1}, \quad C_2 = \varepsilon_2 \varepsilon_0 \frac{S}{d_2}. \]

Подставляем эти выражения в формулу для последовательного соединения:

\[ \frac{1}{C} = \frac{d_1}{\varepsilon_1 \varepsilon_0 S} + \frac{d_2}{\varepsilon_2 \varepsilon_0 S}. \]

Умножим обе части на \(\varepsilon_0 S\), чтобы упростить выражение:

\[ \frac{\varepsilon_0 S}{C} = \frac{d_1}{\varepsilon_1} + \frac{d_2}{\varepsilon_2}. \]

Подставим выражение для \(C\) и известные значения:

\[ \frac{(8,85 \times 10^{-12}) \times (35 \times 10^{-4})}{1,074 \times 10^{-9}} = \frac{1,5 \times 10^{-3}}{\varepsilon_1} + \frac{5,2 \times 10^{-3}}{2{,}1}. \]

Вычислим левую часть:

\[ \frac{(8,85 \times 10^{-12}) \times (35 \times 10^{-4})}{1,074 \times 10^{-9}} \approx 2{,}886 \times 10^{-2}. \]

Теперь решим уравнение:

\[ 0{,}02886 = \frac{1,5 \times 10^{-3}}{\varepsilon_1} + \frac{5,2 \times 10^{-3}}{2{,}1}. \]

Вычислим второе слагаемое:

\[ \frac{5,2 \times 10^{-3}}{2{,}1} \approx 2{,}476 \times 10^{-3}. \]

Теперь подставим это значение:

\[ 0{,}02886 = \frac{1{,}5 \times 10^{-3}}{\varepsilon_1} + 0{,}002476. \]

Вычтем \(0{,}002476\) из \(0{,}02886\):

\[ 0{,}02886 - 0{,}002476 \approx 0{,}026384 = \frac{1{,}5 \times 10^{-3}}{\varepsilon_1}. \]

Теперь найдем \(\varepsilon_1\):

\[ \ \varepsilon_1 = \frac{1{,}5 \times 10^{-3}}{0{,}026384} \approx 0{,}05687. \]

Ответ:

Диэлектрическая проницаемость первого слоя \(\varepsilon_1 \approx 0{,}057\).