Определить работу сил Ампера, приходящуюся на единицу длины отрезка провода при изменении расстояния между двумя бесконечно длинными проводами с противоположно направленными токами

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика, магнетизм (сила Ампера)

Разбор задачи:

Дано:

1. Расстояние между проводами изменяется от \( x_0 = 20 \, \text{мм} = 0.02 \, \text{м} \) до \( a = 400 \, \text{мм} = 0.4 \, \text{м} \).
2. Сила тока в проводах \( I = 10 \, \text{А} \).
3. Направления токов противоположные.

Необходимая формула:

Сила взаимодействия между двумя параллельными бесконечно длинными проводами на единицу длины определяется формулой:

\[ F = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r}, \]

где:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн/м} \) — магнитная постоянная,
• \( I_1 \) и \( I_2 \) — силы токов в проводах,
• \( r \) — расстояние между проводами.

Работа сил Ампера при изменении расстояния между проводами (на единицу длины провода) находится как:

\[ A = \int_{x_0}^a F \, dr. \]

Подставим выражение для \( F \) из предыдущей формулы:

\[ A = \int_{x_0}^a \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r} dr. \]

Так как \( \mu_0 \), \( I_1 \), и \( I_2 \) — постоянные, их можно вынести за знак интеграла:

\[ A = \frac{\mu_0}{2\pi} I_1 I_2 \int_{x_0}^a \frac{1}{r} dr. \]

Интеграл от \( 1/r \) равен \( \ln{r} \):

\[ A = \frac{\mu_0}{2\pi} I_1 I_2 \big[ \ln{r} \big]_{x_0}^a. \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ A = \frac{\mu_0}{2\pi} I_1 I_2 \big( \ln{a} - \ln{x_0} \big). \]

С использованием свойства логарифмов \( \ln{a} - \ln{b} = \ln{\frac{a}{b}} \):

\[ A = \frac{\mu_0}{2\pi} I_1 I_2 \ln{\frac{a}{x_0}}. \]

Подстановка числовых значений:

• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн/м} \),
• \( I_1 = I_2 = 10 \, \text{А} \),
• \( a = 0.4 \, \text{м} \),
• \( x_0 = 0.02 \, \text{м} \).

\[ A = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \ln{\frac{0.4}{0.02}}. \]

Упростим:

\[ A = 2 \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot \ln{20}. \]

Вычислим логарифм:

\[ \ln{20} \approx 2.9957. \]

Подставим:

\[ A = 2 \times 10^{-7} \cdot 100 \cdot 2.9957. \]

\[ A = 5.9914 \times 10^{-5} \, \text{Дж/м}. \]

Ответ:

Работа сил Ампера, приходящаяся на единицу длины провода, равна:

\[ A \approx 5.99 \times 10^{-5} \, \text{Дж/м}. \]