Определить работу сил Ампера, приходящуюся на единицу длины отрезка провода при изменении расстояния между двумя бесконечно длинными проводами с противоположно направленными токами

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика, магнетизм (сила Ампера)

Разбор задачи:

Дано:

1. Расстояние между проводами изменяется от $\text{(}{x}_0=20\text{мм}=0.02\text{м}\text{)}$ до $\text{(}a=400\text{мм}=0.4\text{м}\text{)}$.
2. Сила тока в проводах $\text{(}I=10\text{А}\text{)}$.
3. Направления токов противоположные.

Необходимая формула:

Сила взаимодействия между двумя параллельными бесконечно длинными проводами на единицу длины определяется формулой:

$\text{[}F=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r},\text{]}$

где:

• $\text{(}{\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}\text{Гн/м}\text{)}$ — магнитная постоянная,
• $\text{(}{I}_1\text{)}$ и $\text{(}{I}_2\text{)}$ — силы токов в проводах,
• $\text{(}r\text{)}$ — расстояние между проводами.

Работа сил Ампера при изменении расстояния между проводами (на единицу длины провода) находится как:

$\text{[}A={\int }_{x_0}^{a}Fdr.\text{]}$

Подставим выражение для $\text{(}F\text{)}$ из предыдущей формулы:

$\text{[}A={\int }_{x_0}^a\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{I_1{I}_2}{r}dr.\text{]}$

Так как $\text{(}{\mu }_0\text{)}$, $\text{(}{I}_1\text{)}$, и $\text{(}{I}_2\text{)}$ — постоянные, их можно вынести за знак интеграла:

$\text{[}A=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{I}_1{I}_2{\int }_{x_0}^a\frac{1}{r}dr.\text{]}$

Интеграл от $\text{(}1/r\text{)}$ равен $\text{(}\ln r\text{)}$:

$\text{[}A=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{I}_1{I}_2[\ln r{]}_{x_0}^a.\text{]}$

Подставляем пределы интегрирования:

$\text{[}A=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{I}_1{I}_2(\ln a-\ln x_0).\text{]}$

С использованием свойства логарифмов $\text{(}\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}\text{)}$:

$\text{[}A=\frac{{\mu }_0}{2\pi }{I}_1{I}_2\ln \frac{a}{x_0}.\text{]}$

Подстановка числовых значений:

• $\text{(}{\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}\text{Гн/м}\text{)}$,
• $\text{(}{I}_1=I_2=10\text{А}\text{)}$,
• $\text{(}a=0.4\text{м}\text{)}$,
• $\text{(}{x}_0=0.02\text{м}\text{)}$.

$\text{[}A=\frac{4\pi \times {10}^{-7}}{2\pi }\cdot 10\cdot 10\cdot \ln \frac{0.4}{0.02}.\text{]}$

Упростим:

$\text{[}A=2\times {10}^{-7}\cdot 100\cdot \ln 20.\text{]}$

Вычислим логарифм:

$\text{[}\ln 20\approx 2.9957.\text{]}$

Подставим:

$\text{[}A=2\times {10}^{-7}\cdot 100\cdot 2.9957.\text{]}$

$\text{[}A=5.9914\times {10}^{-5}\text{Дж/м}.\text{]}$

Ответ:

Работа сил Ампера, приходящаяся на единицу длины провода, равна:

$\text{[}A\approx 5.99\times {10}^{-5}\text{Дж/м}.\text{]}$