Определить промежуток времени, за который ток в катушке увеличился в n раз

Это задача по физике, раздел "Электродинамика", подраздел "Электромагнитная индукция".

Дано:

• Площадь поперечного сечения катушки — \( S \);
• Длина катушки — \( l \);
• Количество витков в катушке — \( N \);
• Начальный ток \( I_0 \);
• Ток увеличился в \( n = 3 \) раза.

Требуется:

Определить промежуток времени \(\Delta t\), за который ток в катушке увеличился в \( n \) раз, то есть \( I(t) = n \cdot I_0 \).

Решение:

Мы знаем, что на основе закона электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции (ЭДС индукции) может быть выражена следующим образом:

\[ \mathcal{E} = -L \cdot \frac{dI}{dt} \]

где:

• \( L \) — индуктивность катушки,
• \( I \) — сила тока,
• \( \frac{dI}{dt} \) — скорость изменения тока.

Индуктивность катушки можно вычислить по формуле:

\[ L = \mu_0 \cdot \mu \cdot \frac{N^2 \cdot S}{l} \]

где:

• \( \mu_0 \) — магнитная проницаемость вакуума (\( \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Гн/м} \)),
• \( \mu \) — относительная магнитная проницаемость материала катушки,
• \( N \) — количество витков,
• \( S \) — площадь сечения катушки,
• \( l \) — длина катушки.

Так как ток увеличивается равномерно, то можем записать:

\[ \frac{dI}{dt} = \frac{\Delta I}{\Delta t}. \]

Теперь учитываем условие наличия ЭДС:

\[ \mathcal{E} = - L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}. \]

Также, так как по условию ток возрастает равномерно со временем, производная по времени — константа. Используем конечную разность:

\[ \Delta I = I_n - I_0, \]

где \( I_n = n \cdot I_0 \), следовательно:

\[ \Delta I = n \cdot I_0 - I_0 = (n - 1) \cdot I_0. \]

Тогда:

\[ \mathcal{E} = - L \cdot \frac{(n - 1) \cdot I_0}{\Delta t}. \]

Отсюда найдём \(\Delta t\):

\[ \Delta t = - L \cdot \frac{(n - 1) \cdot I_0}{\mathcal{E}}. \]

Таким образом, для нахождения \(\Delta t\) нужно выражение индуктивности катушки \( L \). В итоге формула становится:

\[ \Delta t = \frac{L \cdot (n - 1) \cdot I_0}{\mathcal{E}}. \]