Определить, по какому закону изменяется ток в цепи, содержащей только индуктивность

Предмет: Физика
Раздел: Электродинамика, переменный ток, индуктивное сопротивление

Условие задачи:

Дано, что напряжение на индуктивном сопротивлении изменяется по закону:

U(t) = U_m \cos(\omega t),

где:

• U_m — амплитуда напряжения,
• \omega — циклическая (угловая) частота.

Необходимо определить, по какому закону изменяется ток в цепи, содержащей только индуктивность.

Теория:

Рассмотрим цепь, содержащую только катушку индуктивности с индуктивностью L.
В такой цепи между напряжением U(t) и током I(t) выполняется следующее соотношение:

U(t) = L \dfrac{dI(t)}{dt}

Это уравнение связывает производную тока по времени с напряжением на катушке.

Решение:

Подставим выражение для напряжения:

L \dfrac{dI(t)}{dt} = U_m \cos(\omega t)

Разделим обе части на L:

\dfrac{dI(t)}{dt} = \dfrac{U_m}{L} \cos(\omega t)

Теперь проинтегрируем обе части по времени:

I(t) = \int \dfrac{U_m}{L} \cos(\omega t) \, dt = \dfrac{U_m}{L} \int \cos(\omega t) \, dt

Вспомним, что:

\int \cos(\omega t) \, dt = \dfrac{1}{\omega} \sin(\omega t)

Тогда:

I(t) = \dfrac{U_m}{L \omega} \sin(\omega t) + C

Где C — постоянная интегрирования. Если начальный ток в цепи равен нулю, то C = 0.

Ответ:

Ток в цепи изменяется по закону:

I(t) = I_m \sin(\omega t),
где амплитуда тока:

I_m = \dfrac{U_m}{\omega L}

Физический смысл:

• В цепи с чистой индуктивностью ток отстает по фазе от напряжения на \dfrac{\pi}{2} (на 90 градусов).
• Напряжение: U(t) = U_m \cos(\omega t)
• Ток: I(t) = I_m \sin(\omega t) = I_m \cos\left(\omega t - \dfrac{\pi}{2}\right)

✅ Итог:
Ток в цепи с индуктивностью изменяется по закону:
I(t) = \dfrac{U_m}{\omega L} \sin(\omega t)