Определить отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в моменты времени

Предмет: Физика
Раздел: Электродинамика, раздел "Колебания и волны", подраздел — "Электромагнитные колебания в колебательном контуре"

Условие задачи:

В колебательном контуре напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

U(t) = U_0 \cos(\omega_0 t)

Нужно определить отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в моменты времени:

а) t_1 = \frac{T}{8}
б) t_2 = \frac{T}{3}

Теория:

В идеальном колебательном контуре (LC-контур) происходит обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Полная энергия сохраняется и равна сумме:

W = W_E + W_B

Где:

• W_E — энергия электрического поля конденсатора:
  W_E = \frac{1}{2} C U^2
• W_B — энергия магнитного поля катушки:
  W_B = \frac{1}{2} L I^2

Также известно, что в идеальном контуре ток и напряжение сдвинуты по фазе на \frac{\pi}{2}. Если напряжение изменяется по закону:

U(t) = U_0 \cos(\omega_0 t)

то ток (заряд через производную):

I(t) = -C \frac{dU}{dt} = C U_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t)

Энергии в момент времени t:

Подставим в формулы:

• Электрическая энергия:

W_E(t) = \frac{1}{2} C U_0^2 \cos^2(\omega_0 t)

• Магнитная энергия:

W_B(t) = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} L (C U_0 \omega_0)^2 \sin^2(\omega_0 t)

Заметим, что \omega_0^2 = \frac{1}{LC}, тогда:

L C \omega_0^2 = 1
\Rightarrow L (C \omega_0)^2 = \frac{1}{C}

Подставим:

W_B(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{C} U_0^2 \sin^2(\omega_0 t)

Отношение магнитной энергии к электрической:

 \frac{W_B(t)}{W_E(t)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{C} U_0^2 \sin^2(\omega_0 t)}{\frac{1}{2} C U_0^2 \cos^2(\omega_0 t)} = \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{C} \cdot \frac{\sin^2(\omega_0 t)}{\cos^2(\omega_0 t)} = \frac{\sin^2(\omega_0 t)}{\cos^2(\omega_0 t)} = \tan^2(\omega_0 t) 

Теперь подставим значения времени:

Период колебаний: T = \frac{2\pi}{\omega_0}
Значит:

а) t_1 = \frac{T}{8} \Rightarrow \omega_0 t_1 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}

\tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1

б) t_2 = \frac{T}{3} \Rightarrow \omega_0 t_2 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3}

\tan^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \tan^2\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3

Ответ:

а) \frac{W_B}{W_E} = 1
б) \frac{W_B}{W_E} = 3