Определить неизвестную величину E, напряженность электрического поля

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика (Движение заряженных частиц в электромагнитном поле)

Задача:

Электрон движется в магнитном поле с индукцией \(B\), его кинетическая энергия увеличивается из-за действия электрического поля. Требуется определить неизвестную величину \(E\), напряженность электрического поля.

Дано:

1. Радиус окружности, по которой движется электрон: \(R = 1{,}1 \, \text{см} = 1{,}1 \times 10^{-2} \, \text{м}\)
2. Магнитная индукция: \(B = 3{,}1 \, \text{мТл} = 3{,}1 \times 10^{-3} \, \text{Тл}\)
3. Время, через которое энергия увеличивается в \(n = 2\) раза: \(t = 0{,}11 \, \text{мкс} = 0{,}11 \times 10^{-6} \, \text{с}\)
4. Увеличение кинетической энергии: \(n = 2\)

Требуется найти:

Напряженность электрического поля \(E\).

Решение:

1. Связь радиуса и скорости электрона в магнитном поле:

   Когда частица движется по окружности в магнитном поле, на нее действует сила Лоренца, которая является центростремительной силой: \[ e v B = \frac{m_{e} v^2}{R} \]

   Отсюда выражаем скорость: \[ v = \frac{e B R}{m_{e}} \]

   Где:

   • \(e = 1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\) — заряд электрона;
   • \(m_{e} = 9{,}1 \times 10^{-31} \, \text{кг}\) — масса электрона;
   • \(B\) — индукция магнитного поля;
   • \(R\) — радиус окружности.

   Подставим значения параметров: \[ v = \frac{1{,}6 \times 10^{-19} \times 3{,}1 \times 10^{-3} \times 1{,}1 \times 10^{-2}}{9{,}1 \times 10^{-31}} \]

   \[ v \approx 5{,}992 \times 10^5 \, \text{м/с} \]
2. Кинетическая энергия электрона:

   Кинетическая энергия электрона связана со скоростью следующей формулой: \[ W = \frac{m_{e} v^2}{2} \]

   Подставим значение скорости: \[ W = \frac{9{,}1 \times 10^{-31} \times \left(5{,}992 \times 10^5\right)^2}{2} \]

   \[ W \approx 1{,}63 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \]

   Переведем энергию в электронвольты (1 эВ = \(1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\)): \[ W \approx 1{,}02 \, \text{кэВ} \]

   Таким образом, начальная кинетическая энергия \(W \approx 1{,}02 \, \text{кэВ}\).

3. Увеличение кинетической энергии в \(n = 2\) раза:

   Через время \(t = 0{,}11 \times 10^{-6} \, \text{с}\) кинетическая энергия увеличивается в два раза, значит, конечная энергия: \[ W_2 = 2 W = 2 \times 1{,}02 \, \text{кэВ} = 2{,}04 \, \text{кэВ}. \]

4. Ускорение под действием электрического поля:

   Электрон ускоряется под действием электрического поля, что проявляется через изменение скорости. Разгон электрона в электрическом поле описывается законом Ньютона: \[ e E = m_{e} a. \]

   Ускорение \(a\) можно найти через изменение скорости за время: \[ a = \frac{\Delta v}{t} \]

   Изменение скорости происходит при увеличении кинетической энергии: \[ \Delta W = W_2 - W_1 = \frac{m_{e} (v_2^2 - v_1^2)}{2}. \]

   Но мы знаем, что \(W_2 = 2 W_1\), а значит: \[ v_2^2 = 2 v_1^2. \]

   Таким образом, изменение скорости: \[ \Delta v = v_2 - v_1 = \sqrt{2} v_1 - v_1. \]

5. Найдем напряженность электрического поля \(E\):

   Подставим ускорение в уравнение для силы: \[ e E = m_{e} \frac{\Delta v}{t} \]

   Отсюда \(E\) равняется: \[ E = \frac{m_{e} \Delta v}{e t}. \]

   Теперь подставляем значения: \[ E = \frac{9{,}1 \times 10^{-31} \times \left(\sqrt{2} v_1 - v_1\right)}{1{,}6 \times 10^{-19} \times 0{,}11 \times 10^{-6}}. \]

   Скорость \(v_1 \approx 5{,}992 \times 10^5 \, \text{м/с}\): \[ E = \frac{9{,}1 \times 10^{-31} \times \left(1{,}414 \times 5{,}992 \times 10^5 - 5{,}992 \times 10^5\right)}{1{,}6 \times 10^{-19} \times 0{,}11 \times 10^{-6}}. \]

   \[ E \approx 8{,}9 \, \text{В/м}. \]

Ответ:

Напряженность электрического поля \(E \approx 8{,}9 \, \text{В/м}\).