Определить электроёмкость системы, состоящей из двух одинаковых заряженных сфер радиусом R, отстоящим друг от друга на расстояние d в среде, заполненной диэлектриком с проницательностью эпсилон

Определение предмета и раздела предмета

Предмет: Физика Раздел: Электродинамика (электростатика), электричество и магнетизм

Постановка задачи:

Нам дана система из двух одинаковых заряженных сфер радиусом \( R \), расстояние между которыми \( d \) сравнимо с \( R \) (\( d \sim R \)), внутри среды с диэлектрической постоянной \( \varepsilon \). Необходимо определить электроёмкость этой системы.

Решение:

1. Понимание задачи

Электроёмкость системы \( C \) определяет способность системы тел накапливать электрический заряд при приложении к ним разности потенциалов. Взаимодействие зарядов двух близких сфер приводит к изменению распределения заряда и потенциала по поверхности. Когда говорится, что \( d \sim R \), это означает, что расстояние между центрами сфер \( d \) имеет порядок радиусов сфер (то есть расстояние находится в пределах величины радиуса). Вывод ёмкости в такой сложной системе потребует учёта распределения зарядов между сферами и изменения потенциала. Также следует учесть, что система находится в среде с диэлектриком, и диэлектрическая проницаемость среды \( \varepsilon \) изменяет взаимодействие зарядов.

2. Изолированная сфера

Для начала определим ёмкость одной сферы радиуса \( R \) в диэлектрике. Здесь мы можем использовать формулу ёмкости для изолированной проводящей сферы: \[ C_1 = 4 \pi \varepsilon \varepsilon_0 R, \] где:

• \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная (в вакууме \( 8.85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \)),
• \( \varepsilon \) — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Ёмкость одной сферы в диэлектрической среде равна \( C_1 = 4 \pi \varepsilon \varepsilon_0 R \).

3. Взаимодействие двух сфер

Теперь рассмотрим влияние второй сферы. Поскольку \( d \sim R \), заряд на одной сфере будет индуцировать заряд на другой, и их потенциалы будут взаимодействовать. Для случая, когда расстояние между сферами \( d \) велико по сравнению с их размерами, ёмкость системы двух сфер можно приближённо оценить. Основываясь на приближении взаимодействующих сфер, микроэлектродинамическая модель даёт следующую результатирующую ёмкость для двух сфер на расстоянии \( d \sim R \): \[ C_{\text{система}} \approx \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 R}{\ln{\frac{d}{R}}}. \]

4. Вывод

Итог:

Электроёмкость системы из двух одинаковых сфер радиуса \( R \), находящихся на расстоянии \( d \sim R \), в среде с диэлектрической проницаемостью \( \varepsilon \) приближённо равна: \[ C \approx \frac{2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 R}{\ln{\frac{d}{R}}}. \]