Определить эквивалентную емкость цепи, а также заряд и энергию электрического поля каждого конденсатора и всей цепи

Предмет: Физика
Раздел предмета: Электродинамика — Электрические цепи с конденсаторами

Дано:

• [C_1 = 8\ \mu\text{Ф}]
• [C_2 = 8\ \mu\text{Ф}]
• [C_3 = 4\ \mu\text{Ф}]
• [C_4 = 3\ \mu\text{Ф}]
• [U = 100\ \text{В}]

Шаг 1: Анализ схемы

Из рисунка видно:

• Конденсаторы [C_1], [C_2] и [C_3] соединены последовательно.
• Конденсатор [C_4] соединён параллельно с группой из [C_1, C_2, C_3].

Шаг 2: Эквивалентная ёмкость

2.1 Последовательное соединение [C_1, C_2, C_3]:

 \frac{1}{C_{123}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 1 + 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} 

Значит:

 C_{123} = 2\ \mu\text{Ф} 

2.2 Параллельное соединение [C_{123}] и [C_4]:

 C_{\text{экв}} = C_{123} + C_4 = 2 + 3 = 5\ \mu\text{Ф} 

Шаг 3: Заряд всей цепи

Заряд на эквивалентной ёмкости:

 Q = C_{\text{экв}} \cdot U = 5\ \mu\text{Ф} \cdot 100\ \text{В} = 500\ \mu\text{Кл} 

Шаг 4: Напряжение на каждом участке

• [Q_{C_4} = Q = 500\ \mu\text{Кл}] (так как параллельно — одинаковый заряд)
• Напряжение на [C_4]:

 U_4 = \frac{Q}{C_4} = \frac{500}{3} \approx 166.67\ \text{В} 

• Напряжение на цепочке [C_1, C_2, C_3]:

 U_{123} = U - U_4 = 100 - 166.67 = -66.67\ \text{В} 

❗ Здесь мы видим противоречие: напряжение на параллельных ветвях должно быть одинаковым.

⚠ Исправление: Поскольку [C_4] и цепочка [C_1, C_2, C_3] соединены параллельно, напряжение на них одинаковое и равно [U = 100\ \text{В}].

Шаг 5: Заряды на каждом конденсаторе

5.1 Конденсатор [C_4]:

 Q_4 = C_4 \cdot U = 3\ \mu\text{Ф} \cdot 100\ \text{В} = 300\ \mu\text{Кл} 

5.2 Ветвь [C_1, C_2, C_3]:

• Общая ёмкость: [C_{123} = 2\ \mu\text{Ф}]
• Заряд на всей ветви:

 Q_{123} = C_{123} \cdot U = 2 \cdot 100 = 200\ \mu\text{Кл} 

(при последовательном соединении заряд одинаков на всех конденсаторах)

• Напряжения на каждом:

 U_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{200}{8} = 25\ \text{В} 

 U_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{200}{8} = 25\ \text{В} 

 U_3 = \frac{Q}{C_3} = \frac{200}{4} = 50\ \text{В} 

Шаг 6: Энергия электрического поля

Формула:
 W = \frac{1}{2} C U^2 

6.1 [C_1]:

 W_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 25^2 = 4 \cdot 625 = 2500\ \mu\text{Дж} 

6.2 [C_2]:

 W_2 = 2500\ \mu\text{Дж} \quad \text{(аналогично)} 

6.3 [C_3]:

 W_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 50^2 = 2 \cdot 2500 = 5000\ \mu\text{Дж} 

6.4 [C_4]:

 W_4 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 100^2 = 1.5 \cdot 10000 = 15000\ \mu\text{Дж} 

Шаг 7: Полная энергия цепи

 W_{\text{общ}} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 + 2500 + 5000 + 15000 = 25000\ \mu\text{Дж} 

✅ Ответ:

• Эквивалентная ёмкость: [C_{\text{экв}} = 5\ \mu\text{Ф}]
• Заряд всей цепи: [Q = 500\ \mu\text{Кл}]
• Заряды:
  • [Q_1 = Q_2 = Q_3 = 200\ \mu\text{Кл}]
  • [Q_4 = 300\ \mu\text{Кл}]
• Напряжения:
  • [U_1 = 25\ \text{В}], [U_2 = 25\ \text{В}], [U_3 = 50\ \text{В}]
  • [U_4 = 100\ \text{В}]
• Энергии:
  • [W_1 = W_2 = 2500\ \mu\text{Дж}]
  • [W_3 = 5000\ \mu\text{Дж}]
  • [W_4 = 15000\ \mu\text{Дж}]
  • [W_{\text{общ}} = 25000\ \mu\text{Дж}]