Предмет: Физика
Раздел: Электродинамика, закон Кулона, распределенные заряды
Условие:
Нам нужно найти с какой силой будут отталкиваться два одинаковых стержня, равномерно заряженные и лежащие на одной прямой. Известно, что длины стержней \(a\) и \(b\), их линейные плотности зарядов \(\tau_1\) и \(\tau_2\), а также расстояние \(x_0\) между ближайшими концами стержней.
Решение:
Задача решается интегрированием силы взаимодействия малых элементарных зарядов двух стержней, так как заряд распределён равномерно вдоль стержней.
-
Начнём с определения элементарных зарядов. Элементарные заряды стержней, взятые на длине \(dx_1\) для первого стержня и \(dx_2\) для второго стержня, соответственно равны:
\[ dq_1 = \tau_1 dx_1 \]
\[ dq_2 = \tau_2 dx_2 \]
Здесь:
- \(\tau_1\) и \(\tau_2\) — это линейные плотности зарядов стержней.
- \(dx_1\) и \(dx_2\) — малые элементы длины стержней.
-
Формула для силы взаимодействия. Сила взаимодействия двух точечных зарядов \(dq_1\) и \(dq_2\), находящихся на расстоянии \(r\), выражается через закон Кулона:
\[ dF = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq_1 dq_2}{r^2} \]
где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная, \(r\) — расстояние между зарядами \(dq_1\) и \(dq_2\).
Расстояние \(r\) между элементами стержней будет меняться по длине, и для двух элементарных зарядов оно зависит от расстояний \(x_1\) и \(x_2\) от концов стержней:
\[ r = x_0 + x_1 + x_2 \]
где \(x_0\) — начальное расстояние между концами стержней.
-
Общая сила взаимодействия двух стержней. Суммарная сила равна интегралу по длинам обоих стержней:
\[ F = \int_0^a \int_0^b \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\tau_1 \tau_2 dx_1 dx_2}{(x_0 + x_1 + x_2)^2} \]
-
Интегрирование. Внутренний интеграл (по \(x_2\)) возьмём сначала:
\[ \int_0^b \frac{dx_2}{(x_0 + x_1 + x_2)^2} = \left[ -\frac{1}{x_0 + x_1 + x_2} \right]_{x_2=0}^{x_2=b} = \frac{1}{x_0 + x_1} - \frac{1}{x_0 + x_1 + b} \]
Теперь подставляем это в внешний интеграл и вычисляем для \(x_1\):
\[ F = \frac{\tau_1 \tau_2}{4\pi \varepsilon_0} \int_0^a \left( \frac{1}{x_0 + x_1} - \frac{1}{x_0 + x_1 + b} \right) dx_1 \]
Для каждого из этих слагаемых возьмём интегралы:
\[ \int_0^a \frac{dx_1}{x_0 + x_1} = \ln(x_0 + a) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x_0 + a}{x_0}\right) \]
\[ \int_0^a \frac{dx_1}{x_0 + x_1 + b} = \ln(x_0 + a + b) - \ln(x_0 + b) = \ln\left(\frac{x_0 + a + b}{x_0 + b}\right) \]
-
Окончательная формула для силы: Подставляя результаты, получаем общую силу отталкивания стержней:
\[ F = \frac{\tau_1 \tau_2}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \ln\left(\frac{x_0 + a}{x_0}\right) - \ln\left(\frac{x_0 + a + b}{x_0 + b}\right) \right] \]
Ответ:
\[ F = \frac{\tau_1 \tau_2}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \ln\left(\frac{x_0 + a}{x_0}\right) - \ln\left(\frac{x_0 + a + b}{x_0 + b}\right) \right] \]