Найти расстояние, на котором электрон вылетит из области с магнитным полем

Это задание относится к предмету "Физика", раздел "Электродинамика" (а именно, "Движение заряженных частиц в магнитном поле").

Что дано:

• Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией \(\vec{B}\).
• Угол \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) между скоростью электрона \(\vec{v}\) и границей поля.
• Направление осей \(X\) и \(Y\) поля безгранично, в то время как по оси \(Z\) есть граница.
• Найти расстояние \(l\), на котором электрон вылетит из области с магнитным полем.

Формулы и принципы:

1. Сила Лоренца: на заряженную частицу (электрон) в магнитном поле действует сила Лоренца. По правой руке (для положительных частиц) или по левой руке (для отрицательного заряда, как у электрона): \[ \vec{F} = e \vec{v} \times \vec{B} \] где \(e\) — заряд электрона (по модулю).
2. Движение в плоскости перпендикулярно полю: система индукции \(\vec{B}\) будет заставлять электрон двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной \(\vec{B}\). Это связано с центростремительным ускорением, создающим круговой путь: \[ R = \frac{mv_{\perp}}{eB} \] где \(R\) — радиус траектории, \(m\) — масса электрона, \(v_{\perp}\) — скорость, перпендикулярная магнитному полю.
3. Составляющие скорости: так как угол между скоростью \(\vec{v}\) и границей поля \(\alpha = \frac{\pi}{4}\), можно разложить скорость на две составляющие:
   • Перпендикулярная составляющая \(v_{\perp} = v \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{v}{\sqrt{2}}\).
   • Параллельная составляющая \(v_{\parallel} = v \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{v}{\sqrt{2}}\).
4. Движение вдоль оси Z: Компонента скорости вдоль оси \(Z\), которая параллельна границе магнитного поля, равна \(v_{\parallel}\), и она останется постоянной, так как на нее магнитное поле не влияет.
5. Вылет электрона: Электрон будет двигаться по винтовой траектории с шагом \(h\), который связан с параллельной составляющей скорости и периодом обращения по окружности: \[ h = v_{\parallel} T, \] где \(T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}}\) — период обращения электрона по окружности.

Решение:

1. Найдем радиус окружности: \[ R = \frac{mv_{\perp}}{eB} = \frac{m \cdot \frac{v}{\sqrt{2}}}{eB} = \frac{mv}{\sqrt{2}eB}. \]
2. Найдем период обращения частицы: \[ T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}} = \frac{2\pi \cdot \frac{mv}{\sqrt{2}eB}}{\frac{v}{\sqrt{2}}} = \frac{2\pi m}{eB}. \]
3. Шаг винтовой траектории: \[ h = v_{\parallel} T = \frac{v}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\pi m}{eB} = \frac{2\pi m v}{\sqrt{2} eB}. \]
4. Расстояние \(l\), которое электрон пройдет вдоль оси \(Z\) до вылета равно шагу винтовой линии \(h\): \[ l = \frac{2\pi m v}{\sqrt{2} eB}. \]

Ответ:

Расстояние \(l\), на котором электрон вылетит из магнитного поля, равно: