Найти расстояние, на котором электрон вылетит из области с магнитным полем

Это задание относится к предмету "Физика", раздел "Электродинамика" (а именно, "Движение заряженных частиц в магнитном поле").

Что дано:

• Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией $\text{(}\overrightarrow{B}\text{)}$.
• Угол $\text{(}\alpha =\frac{\pi }{4}\text{)}$ между скоростью электрона $\text{(}\overrightarrow{v}\text{)}$ и границей поля.
• Направление осей $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$ поля безгранично, в то время как по оси $\text{(}Z\text{)}$ есть граница.
• Найти расстояние $\text{(}l\text{)}$, на котором электрон вылетит из области с магнитным полем.

Формулы и принципы:

1. Сила Лоренца: на заряженную частицу (электрон) в магнитном поле действует сила Лоренца. По правой руке (для положительных частиц) или по левой руке (для отрицательного заряда, как у электрона): $\text{[}\overrightarrow{F}=e\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\text{]}$ где $\text{(}e\text{)}$ — заряд электрона (по модулю).
2. Движение в плоскости перпендикулярно полю: система индукции $\text{(}\overrightarrow{B}\text{)}$ будет заставлять электрон двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной $\text{(}\overrightarrow{B}\text{)}$. Это связано с центростремительным ускорением, создающим круговой путь: $\text{[}R=\frac{m{v}_{\perp }}{eB}\text{]}$ где $\text{(}R\text{)}$ — радиус траектории, $\text{(}m\text{)}$ — масса электрона, $\text{(}{v}_{\perp }\text{)}$ — скорость, перпендикулярная магнитному полю.
3. Составляющие скорости: так как угол между скоростью $\text{(}\overrightarrow{v}\text{)}$ и границей поля $\text{(}\alpha =\frac{\pi }{4}\text{)}$, можно разложить скорость на две составляющие:
   • Перпендикулярная составляющая $\text{(}{v}_{\perp }=v\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{v}{\sqrt{2}}\text{)}$.
   • Параллельная составляющая $\text{(}{v}_{\parallel }=v\cdot \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{v}{\sqrt{2}}\text{)}$.
4. Движение вдоль оси Z: Компонента скорости вдоль оси $\text{(}Z\text{)}$, которая параллельна границе магнитного поля, равна $\text{(}{v}_{\parallel }\text{)}$, и она останется постоянной, так как на нее магнитное поле не влияет.
5. Вылет электрона: Электрон будет двигаться по винтовой траектории с шагом $\text{(}h\text{)}$, который связан с параллельной составляющей скорости и периодом обращения по окружности: $\text{[}h=v_{\parallel }T,\text{]}$ где $\text{(}T=\frac{2\pi R}{v_{\perp }}\text{)}$ — период обращения электрона по окружности.

Решение:

1. Найдем радиус окружности: $\text{[}R=\frac{m{v}_{\perp }}{eB}=\frac{m\cdot \frac{v}{\sqrt{2}}}{eB}=\frac{mv}{\sqrt{2}eB}.\text{]}$
2. Найдем период обращения частицы: $\text{[}T=\frac{2\pi R}{v_{\perp }}=\frac{2\pi \cdot \frac{mv}{\sqrt{2}eB}}{\frac{v}{\sqrt{2}}}=\frac{2\pi m}{eB}.\text{]}$
3. Шаг винтовой траектории: $\text{[}h=v_{\parallel }T=\frac{v}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2\pi m}{eB}=\frac{2\pi mv}{\sqrt{2}eB}.\text{]}$
4. Расстояние $\text{(}l\text{)}$, которое электрон пройдет вдоль оси $\text{(}Z\text{)}$ до вылета равно шагу винтовой линии $\text{(}h\text{)}$: $\text{[}l=\frac{2\pi mv}{\sqrt{2}eB}.\text{]}$

Ответ:

Расстояние $\text{(}l\text{)}$, на котором электрон вылетит из магнитного поля, равно: