Найти поток через сферическую поверхность

Мы рассматриваем задачу из области электродинамики, а именно взаимодействие магнитного поля с поверхностями. Ниже приведено подробное объяснение решения задачи и расчета тока намагниченности \( J_n \).

1. Контекст задачи:

• Вакуум над плоской поверхностью и магнитное поле \( \mathbf{B} \).
• Угол \( \theta \) между вектором магнитной индукции \( \mathbf{B} \) и нормалью к поверхности (\( \mathbf{n} \)).
• Магнитная проницаемость материала равна \( \mu \).

2. Цели:

• Найти поток \( \mathbf{H} \) через сферическую поверхность \( S \).
• Определить циркуляцию вектора \( \mathbf{B} \) по квадратному контуру.

3. Решение для потока \( \mathbf{H} \):

• Используем следующее соотношение:
  \[ \oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{S} = \oint \left( \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{J} \right) \cdot d\mathbf{S} \]
  Где \( \mathbf{J} \) - ток намагниченности.
• Учтем, что интеграл от \( \mathbf{B} \) по замкнутой поверхности равен нулю:
  \[ \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 \]
• Значит:
  \[ \oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{S} = -\oint \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} \]
• Рассматриваем поток только через нижнюю половину сферы, учитывая симметрию задачи и расположение поверхности.

4. Вычисление тока намагниченности \( J_n \):

• Компоненты полей нормальные:
  \[ B_n = B \cos \theta, \quad H_n = \frac{B_n}{\mu_0} = \frac{B \cos \theta}{\mu_0} \]
• Поскольку присутствует материал с магнитной проницаемостью, необходимо выразить ток намагниченности:
  \[ J_n = B \cos \theta \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right) \]
• Это выражение получено из разности индукции в свободном пространстве и в материале, учтены эффекты намагниченности. Таким образом, \( J_n \) возникает из-за разности коэффициентов магнитной проницаемости внутри материала и в вакууме. Разность индукций умножается на нормальную компоненту поля, что остается только с частью, зависимой от \( \mu \).