Найти напряжённость магнитного поля в центре витка

Предмет задания: Физика, раздел электродинамика, тема «Магнитное поле».

Условие задачи:

1. Есть плоский круговой виток с током \( I_1 \) и магнитным моментом \( p \), радиус которого равен \( R \).
2. Также есть длинный прямой провод с током \( I_2 \), перпендикулярный оси витка. Расстояние от центра витка до провода равно \( d \).
3. Нужно найти напряжённость магнитного поля \( H \) в центре витка.

Дано:

• \( I_1 = 3,3 \, \text{А} \);
• \( p = 47 \, \text{мА} \cdot \text{м}^2 = 47 \times 10^{-3} \, \text{А} \cdot \text{м}^2 \);
• \( I_2 = 8,1 \, \text{А} \);
• \( d = 11 \, \text{см} = 0,11 \, \text{м} \).

Найти: \( H \) — напряжённость магнитного поля в центре витка.

Решение:

1. Связь магнитного момента и радиуса витка \( R \):

   Магнитный момент кругового витка с током связан с током и радиусом витка формулой:

   \[ p = I_1 \cdot \pi R^2 \]

   Отсюда радиус витка можно найти так:

   \[ R = \sqrt{\frac{p}{I_1 \cdot \pi}} \]

   Подставим значения:

   \[ R = \sqrt{\frac{47 \times 10^{-3}}{3,3 \times \pi}} \approx \sqrt{\frac{47 \times 10^{-3}}{10,361}} \approx 0,067 \, \text{м} \]

2. Магнитное поле созданное витком:

   Магнитное поле в центре кругового витка с током описывается формулой:

   \[ B_{\text{виток}} = \frac{\mu_0 I_1}{2R} \]

   где \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Гн}/\text{м} \). Подставим численные значения:

   \[ B_{\text{виток}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 3,3}{2 \times 0,067} \approx \frac{4,14 \times 10^{-6}}{0,134} \approx 3,09 \times 10^{-5} \, \text{Тл} \]

3. Магнитное поле созданное проводом:

   Магнитное поле, создаваемое длинным прямым проводом с током \( I_2 \), на расстоянии \( d \) от провода определяется формулой:

   \[ B_{\text{провод}} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d} \]

   Подставим численные значения:

   \[ B_{\text{провод}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 8,1}{2\pi \cdot 0,11} = \frac{4 \times 10^{-7} \cdot 8,1}{0,22} \approx \frac{3,24 \times 10^{-6}}{0,22} \approx 1,47 \times 10^{-5} \, \text{Тл} \]

4. Равнодействующее магнитное поле:

   Так как провод перпендикулярен витку, то их магнитные поля будут перпендикулярны друг другу, и результирующее магнитное поле определяется по теореме Пифагора:

   \[ B_{\text{сумм}} = \sqrt{B_{\text{виток}}^2 + B_{\text{провод}}^2} \]

   Подставляем значения:

   \[ B_{\text{сумм}} = \sqrt{(3,09 \times 10^{-5})^2 + (1,47 \times 10^{-5})^2} \approx \sqrt{9,55 \times 10^{-10} + 2,16 \times 10^{-10}} \approx \sqrt{1,171 \times 10^{-9}} \approx 3,42 \times 10^{-5} \, \text{Тл} \]

5. Напряжённость магнитного поля:

   Связь напряжённости магнитного поля \( H \) и магнитной индукции \( B \) дана соотношением:

   \[ B = \mu_0 H \]

   Отсюда напряжённость магнитного поля:

   \[ H = \frac{B}{\mu_0} \]

   \[ H = \frac{3,42 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-7}} \approx \frac{3,42 \times 10^{-5}}{1,256 \times 10^{-6}} \approx 27,24 \, \text{А/м} \]

Ответ: Напряжённость магнитного поля \( H \approx 27,24 \, \text{А/м} \).

Подставим найденное значение магнитной индукции: