Найти напряжённость электрического поля

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика, движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.

Задание задает задачу, связанную с движением электрона в магнитном поле, а также с увеличением его кинетической энергии при воздействии электрического поля.

Дано:

• Радиус круговой траектории электрона в магнитном поле: $\text{(}R=1,1\text{см}=\mathrm{0,011}\text{м}\text{)}$,
• Магнитная индукция: $\text{(}B=3,1\text{мТл}=3,1\times {10}^{-3}\text{Тл}\text{)}$,
• Время воздействия электрического поля: $\text{(}t=0,11\text{мкс}=1,1\times {10}^{-7}\text{с}\text{)}$,
• Кинетическая энергия увеличивается в $\text{(}n=2\text{)}$ раза,
• Найти напряжённость электрического поля $\text{(}E\text{)}$.

Шаг 1: Определим начальную скорость электрона

Электрон в магнитном поле движется по окружности радиуса $\text{(}R\text{)}$. В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца, которая обеспечивает центростремительное ускорение:

$\text{[}{F}_{\text{Лоренца}}=m\cdot a=\frac{m{v}^2}{R},\text{]}$

где $\text{(}m\text{)}$ — масса электрона, $\text{(}v\text{)}$ — скорость электрона, $\text{(}R\text{)}$ — радиус окружности.

Сила Лоренца также выражается как:

$\text{[}{F}_{\text{Лоренца}}=e\cdot v\cdot B,\text{]}$

где $\text{(}e=1,6\times {10}^{-19}\text{Кл}\text{)}$ — заряд электрона, $\text{(}B\text{)}$ — магнитная индукция.

Приравнивая обе формулы:

$\text{[}\frac{m{v}^2}{R}=evB,\text{]}$

Сокращая на $\text{(}v\text{)}$ (предполагая, что $\text{(}v\ne 0\text{)}$):

$\text{[}v=\frac{eBR}{m}.\text{]}$

Постоянные:

• $\text{(}e=1,6\times {10}^{-19}\text{Кл}\text{)}$,
• $\text{(}m=9,1\times {10}^{-31}\text{кг}\text{)}$.

Подставим значения:

$\text{[}v=\frac{(1,6\times {10}^{-19})(3,1\times {10}^{-3})(\mathrm{0,011})}{9,1\times {10}^{-31}},\text{]}$

$\text{[}v\approx 6,0\times {10}^6\text{м/с}.\text{]}$

Шаг 2: Определим начальную кинетическую энергию электрона

Кинетическая энергия электрона до включения электрического поля равна:

$\text{[}W=\frac{m{v}^2}{2}.\text{]}$

Подставим значения:

$\text{[}W=\frac{(9,1\times {10}^{-31})(6,0\times {10}^6{)}^2}{2}=1,64\times {10}^{-17}\text{Дж}.\text{]}$

Переведем в электронвольты (1 эВ = $\text{(}1,6\times {10}^{-19}\text{Дж}\text{)}$):

$\text{[}W=\frac{1,64\times {10}^{-17}}{1,6\times {10}^{-19}}\text{эВ}\approx 102,5\text{кэВ}.\text{]}$

Шаг 3: Кинетическая энергия после воздействия электрического поля

Энергия увеличивается в $\text{(}n=2\text{)}$ раза:

$\text{[}{W}^{\prime }=nW=2\times 102,5\text{кэВ}=205\text{кэВ}.\text{]}$

Шаг 4: Найдем прирост скорости

Для новой энергии $\text{(}{W}^{\prime }\text{)}$:

$\text{[}{W}^{\prime }=\frac{m{v}^{\prime 2}}{2},\text{]}$

где $\text{(}{v}^{\prime }\text{)}$ — скорость электрона после воздействия электрического поля.

Выразим $\text{(}{v}^{\prime }\text{)}$:

$\text{[}{v}^{\prime }=\sqrt{\frac{2W^{\prime }}{m}}.\text{]}$

Подставим значение новой энергии $\text{(}{W}^{\prime }=205\text{кэВ}=3,28\times {10}^{-14}\text{Дж}\text{)}$:

$\text{[}{v}^{\prime }=\sqrt{\frac{2\times 3,28\times {10}^{-14}}{9,1\times {10}^{-31}}}\approx 8,5\times {10}^7\text{м/с}.\text{]}$

Шаг 5: Напряжённость электрического поля

Электрическое поле сообщает электрону ускорение по закону $\text{(}F=ma\text{)}$, так что:

$\text{[}eE=ma=m\frac{\mathrm{\Delta }v}{t},\text{]}$

где $\text{(}\mathrm{\Delta }v=v^{\prime }-v\text{)}$.

Подставляем значения:

$\text{[}E=\frac{m(v^{\prime }-v)}{et}=\frac{(9,1\times {10}^{-31})((8,5\times {10}^7)-(6,0\times {10}^6))}{(1,6\times {10}^{-19})(1,1\times {10}^{-7})}.\text{]}$

Рассчитаем:

$\text{[}E\approx \frac{(9,1\times {10}^{-31})(7,9\times {10}^7)}{(1,6\times {10}^{-19})(1,1\times {10}^{-7})}\approx 4,0\text{В/м}.\text{]}$

Ответ:

Напряженность электрического поля $\text{(}E\approx 4\text{В/м}\text{)}$.