Найти напряжённость электрического поля

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика, движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях.

Задание задает задачу, связанную с движением электрона в магнитном поле, а также с увеличением его кинетической энергии при воздействии электрического поля.

Дано:

• Радиус круговой траектории электрона в магнитном поле: \( R = 1{,}1 \, \text{см} = 0{,}011 \, \text{м} \),
• Магнитная индукция: \( B = 3{,}1 \, \text{мТл} = 3{,}1 \times 10^{-3} \, \text{Тл} \),
• Время воздействия электрического поля: \( t = 0{,}11 \, \text{мкс} = 1{,}1 \times 10^{-7} \, \text{с} \),
• Кинетическая энергия увеличивается в \( n = 2 \) раза,
• Найти напряжённость электрического поля \( E \).

Шаг 1: Определим начальную скорость электрона

Электрон в магнитном поле движется по окружности радиуса \( R \). В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца, которая обеспечивает центростремительное ускорение:

\[ F_{\text{Лоренца}} = m \cdot a = \frac{m v^2}{R}, \]

где \( m \) — масса электрона, \( v \) — скорость электрона, \( R \) — радиус окружности.

Сила Лоренца также выражается как:

\[ F_{\text{Лоренца}} = e \cdot v \cdot B, \]

где \( e = 1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \) — заряд электрона, \( B \) — магнитная индукция.

Приравнивая обе формулы:

\[ \frac{m v^2}{R} = e v B, \]

Сокращая на \( v \) (предполагая, что \( v \neq 0 \)):

\[ v = \frac{e B R}{m}. \]

Постоянные:

• \( e = 1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \),
• \( m = 9{,}1 \times 10^{-31} \, \text{кг} \).

Подставим значения:

\[ v = \frac{(1{,}6 \times 10^{-19})(3{,}1 \times 10^{-3})(0{,}011)}{9{,}1 \times 10^{-31}}, \]

\[ v \approx 6{,}0 \times 10^6 \, \text{м/с}. \]

Шаг 2: Определим начальную кинетическую энергию электрона

Кинетическая энергия электрона до включения электрического поля равна:

\[ W = \frac{m v^2}{2}. \]

Подставим значения:

\[ W = \frac{(9{,}1 \times 10^{-31})(6{,}0 \times 10^6)^2}{2} = 1{,}64 \times 10^{-17} \, \text{Дж}. \]

Переведем в электронвольты (1 эВ = \( 1{,}6 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \)):

\[ W = \frac{1{,}64 \times 10^{-17}}{1{,}6 \times 10^{-19}} \, \text{эВ} \approx 102{,}5 \, \text{кэВ}. \]

Шаг 3: Кинетическая энергия после воздействия электрического поля

Энергия увеличивается в \( n = 2 \) раза:

\[ W' = n W = 2 \times 102{,}5 \, \text{кэВ} = 205 \, \text{кэВ}. \]

Шаг 4: Найдем прирост скорости

Для новой энергии \( W' \):

\[ W' = \frac{m v'^2}{2}, \]

где \( v' \) — скорость электрона после воздействия электрического поля.

Выразим \( v' \):

\[ v' = \sqrt{\frac{2 W'}{m}}. \]

Подставим значение новой энергии \( W' = 205 \, \text{кэВ} = 3{,}28 \times 10^{-14} \, \text{Дж} \):

\[ v' = \sqrt{\frac{2 \times 3{,}28 \times 10^{-14}}{9{,}1 \times 10^{-31}}} \approx 8{,}5 \times 10^7 \, \text{м/с}. \]

Шаг 5: Напряжённость электрического поля

Электрическое поле сообщает электрону ускорение по закону \( F = ma \), так что:

\[ e E = m a = m \frac{\Delta v}{t}, \]

где \( \Delta v = v' - v \).

Подставляем значения:

\[ E = \frac{m (v' - v)}{e t} = \frac{(9{,}1 \times 10^{-31}) \left( (8{,}5 \times 10^7) - (6{,}0 \times 10^6) \right)}{(1{,}6 \times 10^{-19})(1{,}1 \times 10^{-7})}. \]

Рассчитаем:

\[ E \approx \frac{(9{,}1 \times 10^{-31}) (7{,}9 \times 10^7)}{(1{,}6 \times 10^{-19})(1{,}1 \times 10^{-7})} \approx 4{,}0 \, \text{В/м}. \]

Ответ:

Напряженность электрического поля \( E \approx 4 \, \text{В/м} \).