Найти напряженность и потенциал поля в точке M, лежащей на оси симметрии кольца, перпендикулярной его плоскости, на расстоянии 3 см от центра кольца

Предмет и раздел: Физика, раздел электродинамика

Тема: Электрические поля. Потенциал. Напряженность. Электрические поля круговых пластинок и колец.

Условие задания:

Дано тонкое плоское кольцо, внутренний радиус которого \( R_1 = 4 \text{ см} \), внешний радиус \( R_2 = 5.2 \text{ см} \). Кольцо заряжено равномерно с поверхностной плотностью заряда \( \sigma = 8.85 \cdot 10^{-10} \text{ Кл/м}^2 \).

Необходимо:

1. Найти напряженность и потенциал поля в точке \( M \), лежащей на оси симметрии кольца, перпендикулярной его плоскости, на расстоянии \( x = 3 \text{ см} \) от центра кольца.
2. Вывести формулы для напряженности и потенциала, создаваемых в точке \( M \) тонким диском с радиусом \( R \), равномерно заряженным с поверхностной плотностью \( \sigma \).

Решение:

1. Найдём напряжённость и потенциал в точке \( M \):

Напряжённость электрического поля на оси симметрии плоского кольца в точке на расстоянии \( x \) от центра (для элементарного кольца радиуса \( r \)) вычисляется по формуле:

\[ dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{dq \cdot x}{(x^2 + r^2)^{3/2}}, \]

где \( dq = \sigma \cdot 2\pi r dr \) — элементарный заряд кольца, \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная.

Теперь нужно просуммировать такую электрическую напряжённость для всех элементарных колечек, составляющих плоское кольцо в пределах радиусов \( R_1 \) и \( R_2 \). Это интеграл:

\[ E = \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\sigma \cdot 2 \pi r \cdot x}{(x^2 + r^2)^{3/2}} dr. \]

Приведём эту формулу к удобному для вычислений виду:

\[ E = \frac{\sigma \cdot x}{2 \varepsilon_0} \cdot \int_{R_1}^{R_2} \frac{r \, dr}{(x^2 + r^2)^{3/2}}. \]

Рассмотрим этот интеграл отдельно. Он имеет стандартное решение:

\[ \int \frac{r \, dr}{(x^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + r^2}}. \]

Теперь подставляем пределы интегрирования \( R_1 \) и \( R_2 \):

\[ E = \frac{\sigma \cdot x}{2 \varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + R_1^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + R_2^2}} \right). \]

Далее подставим значения из условия:

• \( \sigma = 8.85 \cdot 10^{-10} \text{ Кл/м}^2 \),
• \( R_1 = 0.04 \text{ м} \),
• \( R_2 = 0.052 \text{ м} \),
• \( x = 0.03 \text{ м} \),
• \( \varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \).

Подставляем в формулу и находим результат.

2. Формулы для напряжённости и потенциала диска:

Рассмотрим диск радиуса \( R \), заряженный равномерно с поверхностной плотностью заряда \( \sigma \). Для диска с радиусом \( R \) напряжённость в точке на оси симметрии, находящейся на расстоянии \( x \) от центра диска, находится согласно следующей формуле:

\[ E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} \right). \]

Потенциал в этой точке определяется как:

\[ V = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( \sqrt{x^2 + R^2} - x \right). \]

Эти формулы описывают напряжённость и потенциал поля, создаваемого равномерно заряженным диском в произвольной точке на его оси симметрии.

Итог:

1. Напряжённость в точке \( M \), созданная кольцом, можно найти с помощью интеграла, результатом которого является:

   \[ E_M = \frac{\sigma \cdot x}{2 \varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + R_1^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + R_2^2}} \right). \]

2. Формулы для напряжённости и потенциала диска:

   \[ E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} \right), \]

   \[ V = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( \sqrt{x^2 + R^2} - x \right). \]