Найти начальную скорость которую нужно сообщить заряду, чтобы он начал вращаться по окружности радиуса

Определение предмета и раздела

Предмет: Физика
Раздел: Электродинамика, электростатика и движение заряженных частиц в электрическом поле

Дано:

 q = 3 \cdot 10^{-7}  Кл — заряд, равномерно распределенный по сферической поверхности
 q_0 = 2 \cdot 10^{-9}  Кл — точечный заряд
 m = 6 \cdot 10^{-6}  кг — масса точечного заряда
 r = 10  см =  0.1  м — радиус окружности движения заряда
 R_{\text{сф}} < r  — радиус сферы меньше радиуса движения заряда
Условие  m \ll m_{\text{сф}}  означает, что сферическая поверхность неподвижна.

Требуется найти:

Начальную скорость  v , которую нужно сообщить заряду  q_0 , чтобы он начал вращаться по окружности радиуса  r .

Решение:

1. Определение силы взаимодействия

Так как заряд  q  равномерно распределен по сферической поверхности, то снаружи сферы электрическое поле такое же, как если бы весь заряд находился в центре сферы (по теореме Гаусса).

Электрическое поле на расстоянии  r  от центра:
 E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} 

Сила, действующая на заряд  q_0 :
 F = q_0 E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q q_0}{r^2} 

Так как заряд движется по окружности, эта сила является центростремительной:
 F = m \frac{v^2}{r} 

2. Найдем скорость

Приравняем выражения для силы:
 m \frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q q_0}{r^2} 

Выразим скорость:
 v^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q q_0}{m r} 

 v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q q_0}{m r}} 

3. Подставляем числовые значения

Известно, что
 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9  Н·м²/Кл².

Подставляем:
 v = \sqrt{(9 \cdot 10^9) \cdot \frac{(3 \cdot 10^{-7}) (2 \cdot 10^{-9})}{(6 \cdot 10^{-6}) (0.1)}} 

Выполним вычисления:
 (3 \cdot 10^{-7}) (2 \cdot 10^{-9}) = 6 \cdot 10^{-16} 

 (6 \cdot 10^{-6}) (0.1) = 6 \cdot 10^{-7} 

 \frac{6 \cdot 10^{-16}}{6 \cdot 10^{-7}} = 10^{-9} 

 (9 \cdot 10^9) \cdot 10^{-9} = 9 

 v = \sqrt{9} = 3  м/с.

Ответ:

Начальная скорость, которую нужно сообщить заряду, равна 3 м/с.