Найти модуль и направление напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинной прямой нитью с равномерно распределённым зарядом

Предмет и раздел: Физика, электродинамика. Раздел: Электрическое поле.

Задача: Необходимо найти модуль и направление напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинной прямой нитью с равномерно распределённым зарядом.

Дано:

1. Нить равномерно заряжена, линейная плотность заряда \(\lambda\) (заряд на единицу длины).
2. Точка наблюдения находится на расстоянии \(y\) от нити на перпендикуляре, который выходит из её конца.

Решение:

1. Напряжённость электрического поля (общая идея):

Для расчёта напряжённости, создаваемой бесконечно длинной заряженной нитью:

• Разделим нить на бесконечно малые участки длиной \(dx\), каждый из которых можно считать точечным зарядом \(dq = \lambda dx\).
• Определим вклад каждого участка в напряжённость электрического поля в заданной точке.
• Учтём, что направления всех векторов симметрично складываются относительно оси.

2. Выбор системы координат:

• Расположим начало координат в точке пересечения перпендикуляра и конца нити.
• Точка наблюдения находится на оси \(y\) на расстоянии \(y\).
• Заряженная нить занимает положительную часть оси \(x\) от \(x=0\) до \(x=\infty\).

3. Напряжённость элемента поля:

Поле, создаваемое элементом \(dq\), имеет модуль:

\[ dE = \frac{k_e \, dq}{r^2}, \]

где:

• \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) — расстояние от \(dq\) до точки наблюдения,
• \(dq = \lambda dx\).

Направление поля: Вектор \(d\vec{E}\) направлен от заряда (если заряд положительный) и образует угол \(\theta\) с осью \(y\), где:

\[\cos\theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}.\]

4. Разложение на составляющие:

• Составляющая вдоль оси \(y\): \[ dE_y = dE \cos\theta = \frac{k_e \lambda dx}{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \]
• Составляющая вдоль оси \(x\): \[ dE_x = dE \sin\theta = \frac{k_e \lambda dx}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \]

Из-за симметрии все горизонтальные компоненты \(dE_x\) взаимно компенсируются, поэтому суммарное поле вдоль \(x\)-оси равно нулю: \(E_x = 0\).

5. Интегрирование по оси \(x\):

Оставшаяся составляющая — вдоль оси \(y\):

\[ E_y = \int_0^\infty dE_y = \int_{0}^\infty \frac{k_e \lambda y \, dx}{(x^2 + y^2)^{3/2}}. \]

Подставим \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\):

\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \, y \int_{0}^\infty \frac{dx}{(x^2 + y^2)^{3/2}}. \]

6. Вычисление интеграла:

Пределы изменения:

• При \(x = 0\), \(\phi = 0\),
• При \(x = \infty\), \(\phi = \frac{\pi}{2}\).

Подставляем: \[\int_{0}^\infty \frac{dx}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \int_0^{\pi/2} \frac{y \sec^2\phi \, d\phi}{y^3 \sec^3\phi} = \frac{1}{y^2} \int_0^{\pi/2} \cos\phi \, d\phi.\]

Интеграл: \[\int_0^{\pi/2} \cos\phi \, d\phi = \sin\phi \big|_0^{\pi/2} = 1.\]

Следовательно: \[\int_{0}^\infty \frac{dx}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{1}{y^2}.\]

7. Подстановка результата:

\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \cdot y \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 y}. \]

Ответ:

1. Модуль напряжённости электрического поля: \[ E = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 y}. \]
2. Направление поля: Поле направлено вдоль оси \(y\), от нити в случае положительного заряда и к нити, если заряд отрицательный.

Используем подстановку \(x = y \tan \phi\), откуда \(dx = y \sec^2\phi \, d\phi\) и \(x^2 + y^2 = y^2 \sec^2\phi\).