Нахождение исходной кинетической энергии электрона

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика (Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях)

Условие: Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной индукцией \( B \), по окружности радиуса \( R \). Кинетическая энергия электрона равна \( W \). В какой-то момент к магнитному полю добавляется однородное электрическое поле с напряжённостью \( E \), направленное параллельно вектору магнитной индукции. За время \( t \) за счёт работы электрического поля кинетическая энергия электрона увеличилась в \( n \) раз. Задача заключается в нахождении неизвестной величины \( W \) — исходной кинетической энергии электрона.

Дано:

• Напряжённость электрического поля: \( E = 12 \, \text{В/м} \),
• Время воздействия электрического поля: \( t = 0,37 \, \text{мкс} = 0,37 \times 10^{-6} \, \text{с} \),
• Увеличение кинетической энергии в \( n = 10 \) раз.

Найти:

• Исходную кинетическую энергию \( W \).

Решение:

1. Кинетическая энергия электрона после действия электрического поля: Согласно условию, кинетическая энергия увеличилась в \( n \) раз, то есть: \[ W_{\text{кон}} = n W, \] где:
   • \( W \) — начальная кинетическая энергия,
   • \( W_{\text{кон}} \) — конечная кинетическая энергия.
2. Прирост кинетической энергии: Прирост кинетической энергии электрона произошёл за счёт работы электрического поля на заряде электрона. Работа электрического поля на заряде за время \( t \) равна: \[ A = F \cdot s = q E \cdot s, \] где:
   • \( q = e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \) — заряд электрона (по модулю),
   • \( E \) — напряжённость электрического поля,
   • \( s \) — путь, который прошёл электрон за время \( t \).
3. Путь электрона: Электрическое поле ускоряет электрон вдоль своего направления, и за время \( t \) его путь \( s \) можно найти как путь при равноускоренном движении (с нулевой начальной скоростью вдоль поля): \[ s = \frac{at^2}{2}. \] Здесь ускорение \( a \) связано с электрическим полем: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{e E}{m_e}, \] где \( m_e = 9,1 \times 10^{-31} \, \text{кг} \) — масса электрона. Тогда путь \( s \) примет вид: \[ s = \frac{eEt^2}{2m_e}. \]
4. Работа электрического поля: Подставляем выражение для пути \( s \) в формулу для работы: \[ A = eE \cdot \frac{eEt^2}{2m_e} = \frac{e^2 E^2 t^2}{2m_e}. \] Эта работа является приростом кинетической энергии электрона, то есть: \[ \Delta W = A = \frac{e^2 E^2 t^2}{2m_e}. \] По условию, прирост кинетической энергии равен: \[ \Delta W = W_{\text{кон}} - W = nW - W = (n - 1)W. \] Таким образом, приравниваем: \[ (n - 1)W = \frac{e^2 E^2 t^2}{2m_e}. \]
5. Нахождение начальной кинетической энергии \( W \): Подставляем все известные значения: \[ (n - 1) W = \frac{(1,6 \times 10^{-19})^2 (12)^2 (0,37 \times 10^{-6})^2}{2 \times 9,1 \times 10^{-31}}. \] Считаем по шагам:
   • \( e^2 = (1,6 \times 10^{-19})^2 = 2,56 \times 10^{-38} \, \text{Кл}^2 \),
   • \( E^2 = (12)^2 = 144 \, \text{(В/м)}^2 \),
   • \( t^2 = (0,37 \times 10^{-6})^2 = 1,369 \times 10^{-13} \, \text{с}^2 \).
   Теперь подставляем: \[ (n - 1)W = \frac{2,56 \times 10^{-38} \times 144 \times 1,369 \times 10^{-13}}{2 \times 9,1 \times 10^{-31}}. \] Вычисляем числитель и знаменатель: Числитель: \[ 2,56 \times 144 \times 1,369 \times 10^{-51} = 503,75616 \times 10^{-51} = 5,03756 \times 10^{-49}. \] Знаменатель: \[ 2 \times 9,1 \times 10^{-31} = 18,2 \times 10^{-31}. \] Теперь делим: \[ \frac{5,03756 \times 10^{-49}}{18,2 \times 10^{-31}} \approx 2,768 \times 10^{-18} \, \text{Дж}. \] Теперь находим \( W \): \[ (n - 1)W = 2,768 \times 10^{-18}, \] где \( n - 1 = 9 \). Тогда: \[ W = \frac{2,768 \times 10^{-18}}{9} \approx 3,075 \times 10^{-19} \, \text{Дж}. \]

Ответ:

Начальная кинетическая энергия электрона \( W \approx 3,1 \times 10^{-19} \, \text{Дж} \).