Нахождение исходной кинетической энергии электрона

Предмет: Физика

Раздел: Электродинамика (Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях)

Условие: Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитной индукцией $\text{(}B\text{)}$, по окружности радиуса $\text{(}R\text{)}$. Кинетическая энергия электрона равна $\text{(}W\text{)}$. В какой-то момент к магнитному полю добавляется однородное электрическое поле с напряжённостью $\text{(}E\text{)}$, направленное параллельно вектору магнитной индукции. За время $\text{(}t\text{)}$ за счёт работы электрического поля кинетическая энергия электрона увеличилась в $\text{(}n\text{)}$ раз. Задача заключается в нахождении неизвестной величины $\text{(}W\text{)}$ — исходной кинетической энергии электрона.

Дано:

• Напряжённость электрического поля: $\text{(}E=12\text{В/м}\text{)}$,
• Время воздействия электрического поля: $\text{(}t=0,37\text{мкс}=0,37\times {10}^{-6}\text{с}\text{)}$,
• Увеличение кинетической энергии в $\text{(}n=10\text{)}$ раз.

Найти:

• Исходную кинетическую энергию $\text{(}W\text{)}$.

Решение:

1. Кинетическая энергия электрона после действия электрического поля: Согласно условию, кинетическая энергия увеличилась в $\text{(}n\text{)}$ раз, то есть: $\text{[}{W}_{\text{кон}}=nW,\text{]}$ где:
   • $\text{(}W\text{)}$ — начальная кинетическая энергия,
   • $\text{(}{W}_{\text{кон}}\text{)}$ — конечная кинетическая энергия.
2. Прирост кинетической энергии: Прирост кинетической энергии электрона произошёл за счёт работы электрического поля на заряде электрона. Работа электрического поля на заряде за время $\text{(}t\text{)}$ равна: $\text{[}A=F\cdot s=qE\cdot s,\text{]}$ где:
   • $\text{(}q=e=1,6\times {10}^{-19}\text{Кл}\text{)}$ — заряд электрона (по модулю),
   • $\text{(}E\text{)}$ — напряжённость электрического поля,
   • $\text{(}s\text{)}$ — путь, который прошёл электрон за время $\text{(}t\text{)}$.
3. Путь электрона: Электрическое поле ускоряет электрон вдоль своего направления, и за время $\text{(}t\text{)}$ его путь $\text{(}s\text{)}$ можно найти как путь при равноускоренном движении (с нулевой начальной скоростью вдоль поля): $\text{[}s=\frac{a{t}^2}{2}.\text{]}$ Здесь ускорение $\text{(}a\text{)}$ связано с электрическим полем: $\text{[}a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m_e},\text{]}$ где $\text{(}{m}_e=9,1\times {10}^{-31}\text{кг}\text{)}$ — масса электрона. Тогда путь $\text{(}s\text{)}$ примет вид: $\text{[}s=\frac{eE{t}^2}{2m_e}.\text{]}$
4. Работа электрического поля: Подставляем выражение для пути $\text{(}s\text{)}$ в формулу для работы: $\text{[}A=eE\cdot \frac{eE{t}^2}{2m_e}=\frac{e^2{E}^2{t}^2}{2m_e}.\text{]}$ Эта работа является приростом кинетической энергии электрона, то есть: $\text{[}\mathrm{\Delta }W=A=\frac{e^2{E}^2{t}^2}{2m_e}.\text{]}$ По условию, прирост кинетической энергии равен: $\text{[}\mathrm{\Delta }W=W_{\text{кон}}-W=nW-W=(n-1)W.\text{]}$ Таким образом, приравниваем: $\text{[}(n-1)W=\frac{e^2{E}^2{t}^2}{2m_e}.\text{]}$
5. Нахождение начальной кинетической энергии $\text{(}W\text{)}$: Подставляем все известные значения: $\text{[}(n-1)W=\frac{(1,6\times {10}^{-19}{)}^2(12{)}^2(0,37\times {10}^{-6}{)}^2}{2\times 9,1\times {10}^{-31}}.\text{]}$ Считаем по шагам:
   • $\text{(}{e}^2=(1,6\times {10}^{-19}{)}^2=2,56\times {10}^{-38}{\text{Кл}}^2\text{)}$,
   • $\text{(}{E}^2=(12{)}^2=144{\text{(В/м)}}^2\text{)}$,
   • $\text{(}{t}^2=(0,37\times {10}^{-6}{)}^2=1,369\times {10}^{-13}{\text{с}}^2\text{)}$.
   Теперь подставляем: $\text{[}(n-1)W=\frac{2,56\times {10}^{-38}\times 144\times 1,369\times {10}^{-13}}{2\times 9,1\times {10}^{-31}}.\text{]}$ Вычисляем числитель и знаменатель: Числитель: $\text{[}2,56\times 144\times 1,369\times {10}^{-51}=503,75616\times {10}^{-51}=5,03756\times {10}^{-49}.\text{]}$ Знаменатель: $\text{[}2\times 9,1\times {10}^{-31}=18,2\times {10}^{-31}.\text{]}$ Теперь делим: $\text{[}\frac{5,03756\times {10}^{-49}}{18,2\times {10}^{-31}}\approx 2,768\times {10}^{-18}\text{Дж}.\text{]}$ Теперь находим $\text{(}W\text{)}$: $\text{[}(n-1)W=2,768\times {10}^{-18},\text{]}$ где $\text{(}n-1=9\text{)}$. Тогда: $\text{[}W=\frac{2,768\times {10}^{-18}}{9}\approx 3,075\times {10}^{-19}\text{Дж}.\text{]}$

Ответ:

Начальная кинетическая энергия электрона $\text{(}W\approx 3,1\times {10}^{-19}\text{Дж}\text{)}$.