Доказать, что при зарядке конденсатора через сопротивление R от источника с ЭДС

Данный вопрос относится к разделу физики, электродинамике, и в частности, касается процессов зарядки конденсатора в цепи постоянного тока. Чтобы доказать утверждение, сначала введем основные понятия и уравнения, которые нам понадобятся.

1. Энергия, расходуемая источником:

Энергия, затрачиваемая источником напряжения (ЭДС), равна произведению ЭДС на протекший через цепь заряд. Для зарядки конденсатора до напряжения U конденсатором накопленный заряд равен \( Q = CU \), где C — ёмкость конденсатора.

2. Энергия, накопленная в конденсаторе:

Энергия в заряженном конденсаторе выражается формулой: \[ W_{\text{конденсатора}} = \frac{1}{2} CU^2 \]

3. Энергия, потерянная на нагревание в сопротивлении:

По закону Джоуля-Ленца, энергия, выделенная в виде тепла на сопротивлении, равна интегралу от мощности по времени: \[ W_{\text{сопротивления}} = \int_0^{\infty} i^2 R \, dt \]

Теперь давайте покажем, что половина расходуемой энергии идет на зарядку конденсатора, а другая половина — на нагревание сопротивления.

При зарядке конденсатора напряжение на нем возрастает от 0 до E, следовательно, токи и напряжения по всей цепи также изменяются со временем. Текущий ток через резистор и конденсатор равен: \[ i(t) = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \]

Энергия источника (обеспечиваемая источником ЭДС) открытым за всё время интегралом будет:

\[ W_{\text{источника}} = \int_0^{\infty} E i(t) \, dt = \int_0^{\infty} E \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \, dt = \frac{E^2}{R} \int_0^{\infty} e^{-\frac{t}{RC}} \, dt = \frac{E^2}{R} \cdot RC = E^2C \]

Из уравнений можно видеть, что энергия конденсатора:

\[ W_{\text{конденсатора}} = \frac{1}{2} CE^2 \]

Теперь посмотрим на энергию на нагрев сопротивления:

\[ W_{\text{сопротивления}} = W_{\text{источника}} - W_{\text{конденсатора}} = E^2C - \frac{1}{2} CE^2 = \frac{1}{2} CE^2 \]

Таким образом, сумма энергии на нагрев сопротивления \( \frac{1}{2} CE^2 \) и на зарядку конденсатора \( \frac{1}{2} CE^2 \) равна полной энергии, расходуемой источником \( CE^2 \).

Мы доказали, что половина энергии, расходуемой источником, идет на зарядку конденсатора, а другая половина — на нагревание сопротивления.