Задача о плоском конденсаторе с линейно зависящей диэлектрической проницаемостью

Предмет: Физика – Электричество и магнетизм, раздел "Электростатика".

Условие: Задача о плоском конденсаторе с линейно зависящей диэлектрической проницаемостью.

Дано:

1. Зазор между обкладками заполнен изотропным диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого изменяется по линейному закону: \(\varepsilon(y) = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} y\), где \(y\) – координата вдоль расстояния между обкладками (\(0\leq y \leq d\)).
2. Площадь обкладок \(S\).
3. Расстояние между обкладками \(d\).
4. \( \varepsilon_2 > \varepsilon_1 \).

Найти:

1. Ёмкость конденсатора \(C\);
2. Объёмную плотность связанных зарядов \(\rho_\text{св}\).

Решение:

1. Поиск ёмкости \(C\)

Общая формула для ёмкости:

\[ C = \frac{Q}{U}, \]

где \(Q\) — заряд на обкладках, а \(U\) — разность потенциалов.

Дифференциальный элемент ёмкости:

Поскольку \(\varepsilon\) меняется по линейному закону, делим конденсатор на тонкие слои толщиной \(dy\), каждый из которых имеет небольшую ёмкость:

\[ dC = \frac{\varepsilon(y) \varepsilon_0 S}{dy}. \]

Разность потенциалов \(dU\) на элементе:

\[ dU = \frac{dy}{\varepsilon(y) \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{S}. \]

Теперь интегрируем \(dU\) по всему зазору \(d\), чтобы найти общую разность потенциалов:

\[ U = \int_0^d \frac{Q}{S \varepsilon_0 \varepsilon(y)} \, dy. \]

Подставим зависимость \(\varepsilon(y)\):

\[ \varepsilon(y) = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}y. \]

Получаем:

\[ U = \frac{Q}{S \varepsilon_0} \int_0^d \frac{1}{\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}y} \, dy. \]

Вычислим интеграл:

Имеем интеграл вида:

\[ I = \int \frac{1}{a + by} \, dy = \frac{1}{b} \ln |a + by| + C, \]

где \(a = \varepsilon_1\), \(b = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}\).

\[ U = \frac{Q}{S \varepsilon_0} \cdot \frac{d}{\varepsilon_2 - \varepsilon_1} \ln \left(\frac{\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}d}{\varepsilon_1} \right). \]

Упрощаем:

\[ U = \frac{Q d}{S \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} \ln \left(\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\right). \]

Теперь подставляем \(C = \frac{Q}{U}\):

\[ C = \frac{Q}{\frac{Q d}{S \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} \ln \left(\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\right)}. \]

Окончательно:

\[ C = \frac{S \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}{d \ln \left(\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\right)}. \]

2. Объемная плотность связанных зарядов \(\rho_\text{св}\)

Общая формула:

Объёмная плотность связанных зарядов задаётся выражением:

\[ \rho_\text{св} = -\nabla \cdot \vec{P}, \]

где \(\vec{P}\) — поляризация.

Поляризация для линейного диэлектрика:

\[ \vec{P} = (\varepsilon(y) - 1) \varepsilon_0 \vec{E}. \]

Так как \(E\) направлено перпендикулярно обкладкам и \(\varepsilon(y)\) зависят только от \(y\), то:

\[ \rho_\text{св} = -\frac{dP_y}{dy} = -\frac{d}{dy} \left[ (\varepsilon(y) - 1) \varepsilon_0 E \right]. \]

Раскроем производную:

\[ \rho_\text{св} = -\varepsilon_0 E \frac{d\varepsilon(y)}{dy}. \]

Дифференцируем \(\varepsilon(y)\):

\[ \frac{d\varepsilon(y)}{dy} = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}. \]

Подставляем:

\[ \rho_\text{св} = -\varepsilon_0 E \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}. \]

Направление поляризации:

Ответы:

1. Ёмкость конденсатора: \[ C = \frac{S \varepsilon_0 (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}{d \ln \left(\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\right)}. \]
2. Объёмная плотность связанных зарядов: \[ \rho_\text{св} = -\varepsilon_0 E \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d}. \]

Если внешнее поле \(\vec{E}\) направлено в сторону увеличения \(\varepsilon(y)\), то \(\rho_\text{св} \leq 0\) (отрицательный заряд).