Задача о плоском конденсаторе с линейно зависящей диэлектрической проницаемостью

Предмет: Физика – Электричество и магнетизм, раздел "Электростатика".

Условие: Задача о плоском конденсаторе с линейно зависящей диэлектрической проницаемостью.

Дано:

1. Зазор между обкладками заполнен изотропным диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого изменяется по линейному закону: $\text{(}\epsilon (y)={\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}y\text{)}$, где $\text{(}y\text{)}$ – координата вдоль расстояния между обкладками ($\text{(}0\le y\le d\text{)}$).
2. Площадь обкладок $\text{(}S\text{)}$.
3. Расстояние между обкладками $\text{(}d\text{)}$.
4. $\text{(}{\epsilon }_2>{\epsilon }_1\text{)}$.

Найти:

1. Ёмкость конденсатора $\text{(}C\text{)}$;
2. Объёмную плотность связанных зарядов $\text{(}{\rho }_{\text{св}}\text{)}$.

Решение:

1. Поиск ёмкости $\text{(}C\text{)}$

Общая формула для ёмкости:

$\text{[}C=\frac{Q}{U},\text{]}$

где $\text{(}Q\text{)}$ — заряд на обкладках, а $\text{(}U\text{)}$ — разность потенциалов.

Дифференциальный элемент ёмкости:

Поскольку $\text{(}\epsilon \text{)}$ меняется по линейному закону, делим конденсатор на тонкие слои толщиной $\text{(}dy\text{)}$, каждый из которых имеет небольшую ёмкость:

$\text{[}dC=\frac{\epsilon (y){\epsilon }_{0}S}{dy}.\text{]}$

Разность потенциалов $\text{(}dU\text{)}$ на элементе:

$\text{[}dU=\frac{dy}{\epsilon (y){\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{S}.\text{]}$

Теперь интегрируем $\text{(}dU\text{)}$ по всему зазору $\text{(}d\text{)}$, чтобы найти общую разность потенциалов:

$\text{[}U={\int }_0^d\frac{Q}{S{\epsilon }_0\epsilon (y)}dy.\text{]}$

Подставим зависимость $\text{(}\epsilon (y)\text{)}:$

$\text{[}\epsilon (y)={\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}y.\text{]}$

Получаем:

$\text{[}U=\frac{Q}{S{\epsilon }_0}{\int }_0^d\frac{1}{{\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}y}dy.\text{]}$

Вычислим интеграл:

Имеем интеграл вида:

$\text{[}I=\int \frac{1}{a+by}dy=\frac{1}{b}\ln |a+by|+C,\text{]}$

где $\text{(}a={\epsilon }_1\text{)}$, $\text{(}b=\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}\text{)}$.

$\text{[}U=\frac{Q}{S{\epsilon }_0}\cdot \frac{d}{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}\ln \left(\frac{{\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}d}{{\epsilon }_1}\right).\text{]}$

Упрощаем:

$\text{[}U=\frac{Qd}{S{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}\ln \left(\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right).\text{]}$

Теперь подставляем $\text{(}C=\frac{Q}{U}\text{)}:$

$\text{[}C=\frac{Q}{\frac{Qd}{S{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}\ln \left(\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right)}.\text{]}$

Окончательно:

$\text{[}C=\frac{S{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}{d\ln \left(\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right)}.\text{]}$

2. Объемная плотность связанных зарядов $\text{(}{\rho }_{\text{св}}\text{)}$

Общая формула:

Объёмная плотность связанных зарядов задаётся выражением:

$\text{[}{\rho }_{\text{св}}=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P},\text{]}$

где $\text{(}\overrightarrow{P}\text{)}$ — поляризация.

Поляризация для линейного диэлектрика:

$\text{[}\overrightarrow{P}=(\epsilon (y)-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}.\text{]}$

Так как $\text{(}E\text{)}$ направлено перпендикулярно обкладкам и $\text{(}\epsilon (y)\text{)}$ зависят только от $\text{(}y\text{)}$, то:

$\text{[}{\rho }_{\text{св}}=-\frac{d{P}_y}{dy}=-\frac{d}{dy}[(\epsilon (y)-1){\epsilon }_{0}E].\text{]}$

Раскроем производную:

$\text{[}{\rho }_{\text{св}}=-{\epsilon }_{0}E\frac{d\epsilon (y)}{dy}.\text{]}$

Дифференцируем $\text{(}\epsilon (y)\text{)}:$

$\text{[}\frac{d\epsilon (y)}{dy}=\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}.\text{]}$

Подставляем:

$\text{[}{\rho }_{\text{св}}=-{\epsilon }_{0}E\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}.\text{]}$

Направление поляризации:

Ответы:

1. Ёмкость конденсатора: $\text{[}C=\frac{S{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}{d\ln \left(\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right)}.\text{]}$
2. Объёмная плотность связанных зарядов: $\text{[}{\rho }_{\text{св}}=-{\epsilon }_{0}E\frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}.\text{]}$

Если внешнее поле $\text{(}\overrightarrow{E}\text{)}$ направлено в сторону увеличения $\text{(}\epsilon (y)\text{)}$, то $\text{(}{\rho }_{\text{св}}\le 0\text{)}$ (отрицательный заряд).