Требуется найти эквивалентное сопротивление между вершинами 1 и 3

Предмет: Физика
Раздел: Электричество и магнетизм — Законы постоянного тока, расчет сопротивлений в цепях

Задача:
Дан проволочный каркас в форме куба. Сопротивление каждого ребра куба равно r. Требуется найти эквивалентное сопротивление между вершинами 1 и 3.

Шаг 1: Анализ симметрии

Рассмотрим куб с вершинами, как на рисунке. Указано, что сопротивления всех ребер одинаковы. Мы ищем сопротивление между вершинами 1 и 3.

Важно воспользоваться симметрией куба. В таких задачах эффективным методом является применение принципа симметрии и замены частей схемы эквивалентными сопротивлениями.

Шаг 2: Метод равных потенциалов

Поскольку все сопротивления одинаковы, можно воспользоваться методом симметрии:

• Потенциал в точках, равноудаленных от точек подключения (1 и 3), будет одинаковым.
• Это позволяет объединить некоторые узлы и упростить схему.

Шаг 3: Обозначим вершины

Обозначим вершины куба:

• Нижний квадрат: 1 — 2 — 3 — 4
• Верхний квадрат: 5 — 6 — 7 — 8
• Соединения между верхом и низом: 1-5, 2-6, 3-7, 4-8

Шаг 4: Используем симметрию

Подключение осуществляется между точками 1 и 3. В этом случае можно воспользоваться известным результатом из теории электрических цепей.

Известный результат:
Если сопротивление каждого ребра куба равно r, то эквивалентное сопротивление между двумя соседними вершинами одной грани, например, между 1 и 3, можно найти по формуле:

R_{13} = \frac{5}{6}r

Ответ:

R = \frac{5}{6}r

Если нужно, могу подробно расписать, как получается это значение через систему уравнений или симметричное распределение токов.